La multiplicación con números enteros es muy similar a la multiplicación con números naturales, excepto por el uso de los signos. Para poder multiplicar números enteros debemos conocer la regla de los signos, que es un pequeño algoritmo, y consiste sólo en la siguiente regla: Al multiplicar dos números enteros, se multiplican estos sin considerar el signo de estos, después se evalúan los signos del siguiente modo: Si ambos números tienen el mismo signo entonces el resultado tendrá signo positivo en caso contrario el resultado tendrá un signo negativo. Esto se puede resumir en la siguiente tabla:
- x - = + + x + = + - x + = - + x - = -
Ejemplo 1.
Multiplicar los siguientes números: 4x-5x6x-8.
4x-5=-20 entonces nos queda multiplicar -20x6x-8
20x6=-120 entonces nos queda multiplicar -120x-8
-120x-8=960 que es el resultado final.
Ejemplo 2.
Juan gasta S/ 3.-, en pasaje para ir a trabajar en 5 días. ¿Cuánto gastará en esos 5 días?
-3 representa lo que se gastará en un día y 5 representa los días en que va a trabajar Juan. Entonces -3x5=-15. Gasto S/. -15.-
Ejemplo 3.
Juan gasta S/ 3.- en pasaje para ir a trabajar en 5 días, pero se enferma y no va a trabajar. ¿Cuánto dinero no gasto en esos días?
-3 representa lo que se gastará en un día y -5 representa los días en que Juan no va a trabajar. Entonces -3x-5=15. No gasto S/. 15.
En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números enteros.
Axioma 01: Conmutativa. El orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación.
a·b·c=b·c·a
Axioma 02: Asociativa. La multiplicación de varios números no varía sustituyendo varios factores por su multiplicación.
a·b·c=(c·a)·b
Axioma 03: Disociativa. La multiplicación de varios números no se altera al reemplazar uno o más factores de forma que la multiplicación de los nuevos factores sea igual a la primera.
Si a=b·c,
=> m·a·n=m·(b·c)·n
Axioma 04: Elemento neutro. Existe sólo un numero, el uno, que al multiplicar con otro número no altera el resultado de la multiplicación.
a·1=a
Axioma 05: Elemento cero. Existe sólo un numero, el cero, que al multiplicar con otro número el resultado será cero.
a·0=0
Axioma 06: Clausura Cuando se multiplican números enteros el resultado es siempre otro número entero.
a·b=c
Axioma 07: Uniforme. Cuando se multiplican miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad.
Si a=b y c=d, => a·c=b·d
Axioma 08: Uniforme. Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica el mismo numero, la igualdad se mantiene.
Si a=b, => a·c=b·c
Axioma 09: Monotonía. Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido, siempre y cuando ambos miembros sean mayor que 0.
Si a>b y c>d, => a·c>b·d ↔ a>b>0 y c>d>0
Si a<b y c<d, => a·c<b·d ↔ 0<a<b y 0<c<d
Axioma 10: Monotonía. Cuando se multiplica un número positivo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.
Si a>b, => a·c>b·c ↔ c>0
Si a<b, => a·c<b·c ↔ c>0
Axioma 11: Monotonía. Cuando se multiplica un número negativo a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se invierte.
Si a>b, => a·c<b·c ↔ c<0
Si a<b, => a·c>b·c ↔ c<0
Axioma 12: Distributiva. Un número multiplicado por la adición o sustracción de dos números, es igual a la adición o sustracción de ese numero, multiplicado por cada uno de los dos números de la adicion o sustracción que multiplica al número.
a(b+c)=a·b + a·c
a(b-c)=a·b-a·c