Al igual que los números naturales, también los números enteros se pueden comparar. Pero decimos que dos números enteros son iguales si representan la misma cantidad de cosas y tienen el mismo signo. Es decir, 4 puede representar 4 objetos y -4 también puede representar 4 objetos, pero ambos no son iguales, ya que el 4 representa algo que uno tiene y el -4 algo que uno no tiene; eso hace que los números 4 y -4 sean diferentes o no iguales. Es decir, 4 ≠ -4.

Ejemplo 1.

Si en una cesta de manzanas, después de contarlas, obtenemos que hay 8 manzanas y en otra cesta de manzanas, después de contarlas, obtenemos que hay 8 manzanas, entonces decimos que ambas cestas tienen la misma cantidad de manzanas, entonces decimos que 8 es igual a 8. Usando el símbolo igual, se escribe 8 = 8.

Ejemplo 2.

Si en una cesta de manzanas, después de contarlas, obtenemos que hay 8 manzanas de más y en otra cesta de manzanas, después de contarlas, obtenemos que faltan 8 manzanas, que se representa con -8, entonces decimos que ambas cestas no tienen la misma cantidad de manzanas, y que 8 no es igual a -8. Usando el símbolo de desigualdad, se escribe 8 ≠ -8.

Como sucedía con los números naturales en los números enteros, a las cantidades que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les llama miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que está a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y el segundo miembro la cantidad que está a la derecha.

Para representar la desigualdad con números enteros, también se usan los símbolos >, <, pero con una clara diferencia. Ya que se debe tener en cuenta a los números negativos. Y como se mencionó anteriormente, que todo número negativo es menor que cero, entonces esto nos dice que cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo, o cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

Ejemplo 3.

Determnie si las siguientes desigualdades se cumplen: 3 > -3, 4 > -2, 0 > -1, -2 < 5, -3 < 0, -19 < 19

3 > -3, se cumple, porque 3 es positivo.
4 > -2, se cumple porque 4 es positivo.
0 < -1, no se cumple porque 0 siempre es mayor que cualquier número negativo.
-2 > 5, no se cumple porque -2 es negativo y este debe ser menor que cualquier número positivo.
-3 < 0, se cumple porque el 0 siempre es mayor que cualquier número negativo.
-19 < 19, se cumple porque el número -19 negativo es menor que el 19 positivo.

Si queremos saber si un número positivo es mayor o igual que otro número positivo, se hace igual que los números naturales. Pero con los números negativos es distinto. Si queremos saber si un número negativo es mayor o menor que otro número negativo, entonces se dice que es menor el número negativo que, sin considerar el signo, representa una cantidad mayor que la otra, y es mayor si el número negativo, al no considerar el signo, es menor que la otra cantidad a comparar.

Ejemplo 4.

Determinar si se cumplen las siguientes desigualdades:

-3 < -1, sí cumple, porque si consideramos a los números sin signo, 3 > 1
-5 < -15, sí cumple, porque si consideramos a los números sin signo, 5 < 15
-3 < -2, sí cumple, porque si consideramos a los números sin signo, 3 > 2
-5 > -8, sí cumple, porque si consideramos a los números sin signo, 5 < 8

También se dice que un número negativo es mayor que otro cuando este está más cerca del 0, según la recta numérica, o es menor que otro cuando este se aleja del 0, según la recta numérica. La definición de igualdad y desigualdad se puede generalizar explicándolo simbólicamente del siguiente modo:

En donde a y b representan cualquier número entero. Existen otros símbolos de desigualdad, que son el mayor o igual que, cuyo símbolo es ≥, y el menor o igual que, cuyo símbolo es ≤, en donde:

Ejemplo 5.

Indicar si las siguientes desigualdades están bien escritas: 4 ≥ 3, 4 ≥ 4, -1 ≥ -3, -2 ≥ -2.

4 ≥ 3; esta relación se cumple porque 4 es mayor que 3, aunque este no sea igual a 3.
4 ≥ 4; esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea mayor.
-1 ≥ -3; esta relación se cumple porque -1 es mayor que -3, aunque este no sea igual.
-2 ≥ -2; esta relación se cumple porque -2 es igual a -2, aunque el primero no sea mayor.

Ejemplo 6.

Indicar si las siguientes desigualdades están bien escritas: 4 ≤ 5, 4 ≤ 4, -9 ≤ -5, -4 ≤ -4.

4 ≤ 5; esta relación se cumple porque 4 es menor que 5, aunque este no sea igual a 5.
4 ≤ 4; esta relación se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea menor.
-9 ≤ -5; esta relación se cumple porque -9 es menor que -5, aunque este no sea igual a -5.
-4 ≤ -4; esta relación se cumple porque -4 es igual a -4, aunque el primero no sea menor.

En los números naturales vimos sobre las desigualdades mayor que y menor que; son desigualdades reversibles o inversas. Esto nos dice que en los números enteros también podemos intercambiar los miembros de la desigualdad, cambiando las desigualdades, es decir, haciendo que la punta de los símbolos siempre señale al que tiene el menor número entero. Es decir, si un número es mayor que un segundo número, entonces el segundo es menor que el primero; y ocurre lo mismo al revés: si un número es menor que otro segundo número, entonces el segundo es mayor que el primero. Teniendo presente que a y b son dos números enteros diferentes, y expresando esto simbólicamente, tendríamos:

Si a > b, entonces b < a.

Si a < b, entonces b > a.

Ejemplo 7.

Las temperaturas de tres ciudades son las siguientes: en la ciudad A la temperatura fue de -15° y al día siguiente fue de -10°; en la ciudad B la temperatura fue de 23° y al día siguiente fue de 10°; en la ciudad C la temperatura fue de -5° y al día siguiente fue de 10°. Estos se anotaron como desigualdades del siguiente modo:

Ciudad A: -15 < -10
Ciudad B: 23 > 10
Ciudad C: -5 < 10

¿Cuál de las siguientes opciones expresa las mismas relaciones de las temperaturas de dichas ciudades, sin tomar en cuenta el orden de los días?

a) Ciudad A: -15 > -10; Ciudad B: 23 > 10; Ciudad C: -5 > 10.
b) Ciudad A: -15 > -10; Ciudad B: 23 > 10; Ciudad C: -5 > 10.
c) Ciudad A: -10 > -15; Ciudad B: 23 > 10; Ciudad C: 10 > -5.

Lo que se debe hacer es expresar las desigualdades inversas correspondientes, y como todas las opciones usan la desigualdad >, entonces cambiamos las desigualdades de las ciudades con esa desigualdad.

Para la ciudad A: -15 < -10, su desigualdad inversa es -10 > -15.
Para la ciudad B: 23 > 10, no se necesita hacer el cambio.
Para la ciudad C: -5 < 10, su desigualdad inversa es 10 > -5.

Con lo que la opción que expresa las mismas temperaturas es la opción c.

Las desigualdades ≤ y ≥ son también reversibles y también se conocen como desigualdades amplias o no estrictas, y las desigualdades < y > también se conocen como desigualdades estrictas.

Tenemos que tener presente que las desigualdades amplias son la unión de dos comparaciones; en el caso de ≤, es el resultado de comparar una igualdad con el menor que, y en el caso de ≥, es el resultado de comparar una igualdad con el mayor que. Y la comparación será correcta o verdadera si una de las dos comparaciones se cumple. Es decir, -4 ≤ -4 es cierto o verdadero, porque -4 es igual a -4, aunque -4 no es menor que -4, ya que son iguales; por otro lado, -1 ≥ -5 es cierto o verdadero, porque -1 es mayor que -5, pero no es cierto que -1 sea igual a -5.

Nota: Cuando usamos un número negativo sin considerar el signo al momento de compararlo con otro, lo que estamos haciendo es tomar el valor absoluto del número. El valor absoluto de un número entero, es el valor que tiene este número sin considerar su signo sea positivo o negativo. Es decir, al comparar dos números negativos, estamos comparando el valor absoluto de los mismos, y el menor será el que tenga mayor valor absoulto, y el mayor será el que tenga menor valor absoluto. El valor absoluto se verá en el capitulo 12.4

Para ordenar números enteros de forma ascendente y descendente, debemos comparar los números. Aquí veremos cómo comparar números enteros para ordenarlos de manera ascendente y descendente. Cuando vimos sobre números naturales, el menor número natural es aquel que representa una menor cantidad de cosas o elementos. Es decir, 3 es menor que 10, porque el 3 puede representar menos cosas que el 10. Y también vimos que un número es mayor que otro si este representa una mayor cantidad de elementos o cosas. Otra forma de determinar si un número es mayor o menor que otro es observar o imaginar que todos los números están ordenados sobre una recta numérica, y decimos que un número es menor que otro cuando este está más cerca del cero, y es mayor cuando este se aleja más del cero que el otro. Esta forma es la que se suele usar cuando comparamos dos números negativos para saber cuál es el mayor o menor. Para ello, debemos tener presente que los números negativos en una recta numérica se colocan a la izquierda del cero, siendo el número negativo que está más lejos del cero el menor y el que está más cerca del cero el mayor. También se suele decir que el número negativo que está más a la izquierda del cero es menor que otro que está menos a la izquierda del cero.

Otra forma de saber si un número negativo es mayor o menor que otro número negativo es comparar los dos números, pero sin tomar en cuenta el signo de los números negativos. Decimos que un número negativo es menor que otro cuando, al compararlos sin el signo, este número es mayor que el otro; y decimos que es mayor que otro cuando, al compararlos sin el signo, este es menor que el otro.

Ejemplo 1.

Ordenar, de forma ascendente y descendente, la siguiente secuencia de números naturales. -5, -18, -10, -9, -1, -3

Para ordenarlos de forma ascendente, comparamos de uno en uno cada número. Al hacerlo, podemos observar que el número que está más lejos del 0 por la izquierda es el -18, el siguiente, que es el -10, y así hasta llegar al -1, que sería el mayor de todos ellos. Con lo que obtendremos la siguiente secuencia.

-18, -10, -9, -5, -3, -1

Para ordenarlos de forma descendente, comparamos de uno en uno cada número. Buscamos el mayor de ellos, que en este caso es -1, ya que es el que está más cerca del cero, para luego ir buscando el siguiente, que es el -3, y así hasta llegar al -18, que sería el menor de todos ellos. Con lo que obtendremos la siguiente secuencia.

-1, -3, -5, -9, -10, -18

El ejemplo anterior nos muestra cómo ordenar solo números negativos, en el caso de que haya números negativos y positivos. Debemos tener presente que los números positivos siempre son mayores que cualquier número negativo, o dicho de otro modo, un número negativo siempre es menor que cualquier número positivo.

Ejemplo 2.

Ordenar, de forma ascendente y descendente, la siguiente secuencia de números naturales. 2, -5, -18, -10, 19, -1, 3

Para ordenarlos de forma ascendente, comparamos de uno en uno cada número. Aquí podemos ver que la secuencia tiene números positivos y negativos. Podemos separar esta lista en dos grupos: uno, los números positivos, y el otro, los números negativos. Ordenamos los números positivos de forma ascendente y luego los números negativos, para después escribir los números ordenados, escribiendo primero los números negativos y después los positivos.

Números positivos ascendentes: 2, 3, 19.
Números negativos ascendentes: -18, -10, -5, -1.
La lista ordenada ascendentemente: -18, -10, -5, -1, 2, 3, 19.

Para ordenarlos de forma descendente, hacemos algo parecido. Pero, en este caso, cada grupo de números lo ordenamos descendentemente, y colocamos los números positivos primero y después los números negativos.

Números positivos descendentes: 19, 3, 2.
Números negativos descendentes: -1, -5, -10, -18.
La lista ordenada descendentemente: 19, 3, 2, -1, -5, -10, -18.

Cuando los números enteros que comparemos tengan más de dos cifras, es fácil determinar cuál es mayor o menor sabiendo la cantidad de cifras que tiene el número. Un número positivo que tiene más cifras que otro, entonces es mayor que el otro, pero si tiene menos cifras, entonces es menor que el otro. Algo parecido sucede con los números negativos, es decir, si un número negativo tiene más cifras que otro, entonces es menor que el otro, pero si tiene menos cifras, entonces es mayor que el otro. Esto nos dice que si comparamos 356 con 13, entonces 356 es mayor que 13, porque 356 tiene tres cifras y 13 dos cifras, pero en el caso de dos números negativos, si comparamos -356 con -13, entonces el mayor de estos números es -13, ya que tiene dos cifras y -356 tiene tres cifras.

Pero en caso de que los números enteros tengan la misma cantidad de cifras, entonces debemos hacer como lo hacemos con los números naturales: comparamos de izquierda a derecha las cifras de esos números, pero debemos tener en cuenta el signo. En el caso de números positivos, si comparamos las cifras que ocupan el mismo lugar, entonces decimos que el número positivo mayor es el que tiene la cifra mayor y el número positivo menor será el que tenga la cifra menor. En el caso de los números negativos, al comparar las cifras de los números, el número negativo mayor es el que tiene la cifra menor y el número negativo menor será el que tenga la cifra mayor.

Ejemplo 3.

Ordenar, de forma ascendente y descendente, la siguiente secuencia de números naturales. -358 397, -326 789, -315 001, -358 271

Empezamos por ordenarlos de forma ascendente; para ello usaremos el lugar de las cifras. Comparamos de izquierda las cifras de los números hasta encontrar la cifra que nos indique cuál es el número menor de todos ellos. Al final tendremos la siguiente secuencia ordenada ascendentemente.

-358 397, -358 271, -326 789, -315 001

En este caso podemos observar que los números -358 397 y -358 271 son menores que los otros dos números, ya que la cifra de segundo lugar en ambos números es 5, que, al ser mayor a las cifras de segundo lugar de los otros números, nos dice que estos números negativos están más lejos del cero. De estos dos números, el menor de ellos será el -358 397, ya que la cifra en cuarto lugar es la mayor; entonces, el menor de todos es -358 397, el siguiente es -358 271. Para determinar de los dos números que quedan cuál es el siguiente, comparamos la cifra de segundo lugar. El número negativo -326 789 es menor que -315 001, porque la cifra de segundo lugar es mayor que la otra cifra de segundo lugar del otro número, es decir, 2 > 1. Finalmente, el mayor de todos ellos es el número negativo -315 001.

Para ordenarlos de forma descendente, hacemos lo mismo: comparamos el lugar de las cifras de cada número, pero en este caso, si la cifra de uno de los números es menor que la del otro, entonces ese número negativo será el mayor. Con lo cual tendremos la secuencia ordenada descendentemente.

-315 001, -326 789, -358 271, -358 397

Nota: El lugar de una cifra dentro de un número, por convención, se cuenta de izquierda a derecha, empezando por el 1. El orden de una cifra dentro de un número, por convención, se cuenta de derecha a izquierda, empezando por el 1. Algunos textos consideran el orden de una cifra, empezando el conteo de las mismas por el 0. Nosotros consideraremos el orden de las cifras empezando por el 1. ver capitulo 1.1

Para comprender las siguientes propiedades, las letras "a" y "b" representan cualquier número entero diferente entre ellos. También usaremos el símbolo ⇒ que, como se explicó anteriormente, significa literalmente la palabra entonces. La propiedad reflexiva y de simetría de la igualdad en los números enteros son las mismas propiedades que hemos visto con los números naturales. Para las siguientes propiedades que se verán a continuación, "a" representará el primer número entero, "b" el segundo número entero.

La propiedad reflexiva de la igualdad nos da a entender que cualquier número entero es igual al mismo. Esta propiedad indica una identidad propia, que nos dice que cualquier cantidad es siempre idéntica a sí misma. Esta propiedad es muy útil para hallar valores desconocidos del mismo modo a como lo hacemos con los números naturales. Por ejemplo, si las ciudades A y B tienen la misma temperatura, y nos dicen que la ciudad A está a -3 grados bajo cero, entonces podemos deducir fácilmente que la ciudad B también tiene -3 grados bajo cero, ya que ambas ciudades, por así decirlo, tienen la misma temperatura; obviamente, esta propiedad se está usando de manera intuitiva en el ejemplo.

La propiedad simétrica de la igualdad nos da a entender que, si un número entero es igual a otro, podemos intercambiar estos valores y la igualdad se mantiene. Es decir, si la ciudad A tiene una temperatura de -3 grados bajo cero, y la temperatura de la ciudad B es la misma, entonces podemos decir fácilmente que la ciudad B tiene -3 grados bajo cero y es la misma que la temperatura de la ciudad A.

Al igual que los números naturales. Para expresar simbólicamente las siguientes propiedades, usaremos las letras "a", "b" y "c", que representarán tres números enteros diferentes, en donde "a" será el primer número, "b" el segundo y "c" el tercero. También usaremos el símbolo ⇒ que, como se explicó anteriormente, significa literalmente la palabra entonces.

La propiedad transitiva o de transitividad de la igualdad es la misma que los númers naturales y nos dice lo siguiente:

Propiedad transitiva de la igualdad.

"Si un número entero es igual a un segundo número entero, y el segundo es igual a un tercer número entero, entonces el primero es igual al tercero."

Esta propiedad nos da a entender que el hecho de verificar consecutivamente tres números enteros para ver si son iguales nos dice que si verificamos la igualdad del primer número con el segundo, y después el segundo con el tercero, entonces podemos determinar fácilmente que el primer número será igual al tercero. Por ejemplo, si sabemos que un submarino está a la misma profundidad que un segundo submarino, y este segundo submarino está a la misma profundidad que un tercer submarino, y si sabemos que el tercer submarino está a -250 metros bajo el nivel del mar, entonces podemos deducir con la ayuda de esta propiedad que el primer submarino está a -250 metros bajo el nivel del mar.

La propiedad de transitividad, o transitiva de la desigualdad en los números enteros, se puede expresar de la siguiente manera:

Propiedad transitiva de la desigualdad.

"Si dos números enteros cumplen una desigualdad, y si el segundo número cumple la misma desigualdad con un tercer número, entonces, el primer número cumple la misma desigualdad con el tercer número."

Para entender esta propiedad, podemos interpretarla con el hecho de hacer siempre las mismas comparaciones sucesivamente, con los tres números enteros. Es decir, si se compara el primer número con el segundo, y luego comparamos el segundo con un tercer número. Entonces, al comparar el primer número con el tercero, podemos determinar si el primer número no será igual que el tercero, menor que el tercero, mayor que el tercero, menor o igual que el tercero o, finalmente, mayor o igual que el tercero. Por ejemplo, si un submarino está a mayor profundidad que un segundo submarino, y que este submarino está a mayor profundidad que un tercero, y si el tercer submarino está a -250 metros bajo el nivel del mar, entonces podemos deducir que el segundo submarino podría estar a -251 metros bajo el nivel del mar o más, y que el primero a -252 metros bajo el nivel del mar o más.

Esta propiedad se puede expresar simbólicamente usando los símbolos correspondientes de la igualdad y desigualdad, tal como se muestra a continuación.

Para expresar simbólicamente las siguientes propiedades, usaremos las letras "a", "b" y "c", que representarán tres números enteros diferentes, en donde "a" será el primer número, "b" el segundo y "c" el tercero. También usaremos el símbolo ⇒, que, como se explicó anteriormente, significa literalmente la palabra entonces. Todas estas propiedades son las mismas que se estudiaron con números naturales, por lo que se vuelve a explicar lo mismo con la única diferencia de que los números en estas propiedades son los números enteros.

Otra propiedad de la desigualdad e igualdad en los números enteros es conocida como la ley de tricotomía o propiedad de tricotomía. Esta propiedad nos dice:

Propiedad de tricotomía.

Si comparamos dos números enteros, entonces se cumple que una y solo una de las siguientes proposiciones se cumple:

• Que ambos sean iguales.
• Que uno sea mayor que el otro.
• Que uno sea menor que el otro.

Esta propiedad nos dice que, si comparamos un par de números, estos no podrán cumplir con otras comparaciones. Es decir, si decimos que -1 458 es menor que 256, entonces sería falso decir que 256 es menor que -1 458 y que ambos sean iguales.

La ley de tricotomía no se usa con desigualdades amplias, ya que, si decimos que -4 es igual a -4, entonces sería cierto decir que -4 ≥ -4 y que -4 ≤ -4.

Otra propiedad de la igualdad y desigualdad con números enteros, que sería una variante de la propiedad transitiva, es la siguiente.

Propiedad 1.

"Si dos números enteros son iguales, y si el segundo cumple una desigualdad con un tercer número entero; entonces, el primer número cumple la misma desigualdad con el tercer número"

Podemos entender esta propiedad como dos comparaciones, en donde el primero podría ser una igualdad y el segundo una desigualdad. En la primera comparación se compara un primer número con un segundo número, y en la segunda comparación se compara el segundo número con un tercer número. Si la segunda comparación se comprueba o verifica que es cierto o verdadero, entonces se puede concluir que el primer número cumple la desigualdad con el tercer número de la segunda comparación. Obviamente, los tres números mencionados son números enteros.

Esta propiedad se puede expresar simbólicamente usando los símbolos correspondientes de la desigualdad, en la segunda comparación, tal como se muestra a continuación.

La propiedad descrita anteriormente se puede expresar, comparando primero la desigualdad y después la igualdad. Con lo que tendríamos lo siguiente.

Propiedad 2.

"Si dos números enteros cumplen una desigualdad, y si el segundo cumple una igualdad con un tercer número entero, entonces, el primer número cumple la misma desigualdad con el tercer número"

Y simbólicamente tendríamos:

De las propiedades 1 y 2, podemos determinar que, al comparar una igualdad y una desigualdad con tres números enteros, tal como se describe en las propiedades, es la desigualdad la que cumplirá al comparar el primer número con el tercero.

Otra propiedad que se puede mencionar es cuando comparamos dos desigualdades en donde una es amplia y la otra estricta, es decir, tendríamos la siguiente propiedad.

Propiedad 3

El termino redondeo se suele usar más con números deci "Si dos números enteros cumplen una desigualdad amplia, y si el segundo cumple una desigualdad estricta del mismo sentido con un tercer número entero; entonces, el primer número cumple la misma desigualdad estricta con el tercer número"

Del mismo modo que las propiedades 1 y 2, cambiando las comparaciones, tendríamos una cuarta propiedad

Propiedad 4

"Si dos números enteros cumplen una desigualdad estricta, y si el segundo cumple una desigualdad amplia del mismo sentido con un tercer número entero, entonces, el primer número cumple la misma desigualdad estricta con el tercer número"

En las propiedades 3 y 4, se mencionan sobre desigualdades del mismo sentido. Esto nos indica que las desigualdades < y ≤ tienen el mismo sentido, porque la cantidad menor estará en el primer miembro. Lo mismo sucede con las desigualdades > y ≥, en donde la cantidad menor estará en el segundo miembro. Es decir, decimos que una desigualdad estricta y amplia tiene el mismo sentido, cuando la punta de sus símbolos apunta siempre en la misma dirección.

Simbólicamente, estas propiedades se pueden escribir de la siguiente manera.