Una relación es un producto cartesiano en donde las tuplas se forman solo a través de un criterio o regla que las relacione. Las relaciones se conocen también como correspondencias. Las relaciones son un subconjunto del producto cartesiano de dichos conjuntos. Simbólicamente se expresa:
g:A→B→C
Que se lee g es la relación de A en B en C.
Las reglas que nos permiten formar las tuplas de una relación pueden ser expresiones como "hermano de", "la mamá de", "esposo de", que relacionan vínculos familiares; por otro lado, expresiones como "menor que", "mayor que", "es un número par", denotan relaciones numéricas. Existen muchas más reglas, y dependen mucho de los conjuntos que se estén usando al formar el producto cartesiano.
En caso de que no haya una relación entre alguno de los conjuntos, esta se puede indicar con una flecha tachada. Simbólicamente se expresa:
g:A↛B↛C
Que se lee en g, no hay relación de A en B en C.
Ejemplo 1.
Dados los conjuntos M = {2, 3}, N = {5, 6} y P = {4, 7}, determinar la relación definida por la regla: “Los elementos de la relación son tuplas en donde la primera componente es un elemento de M; la segunda y tercera componente deben ser un número par".
Hallamos el producto cartesiano de M x N x P = {(2, 5, 4), (2, 5, 7), (2, 6, 4), (2, 6, 7), (3, 5, 4), (3, 5, 7), (3, 6, 4), (3, 6, 7)}
Del producto cartesiano se toman las tuplas que cumplan con la regla.
g: M → N → P = {(2, 6, 4), (3, 6, 4)}
Con un diagrama de flechas se tendría.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos M = {2, 3}, N = {5, 6} y P = {4, 7}, determinar la relación definida por la regla: “Los elementos de la relación son tuplas en donde la primera componente es un elemento de M; la segunda o tercera componente pueden ser un número par".
Hallamos el producto cartesiano de M x N x P = {(2, 5, 4), (2, 5, 7), (2, 6, 4), (2, 6, 7), (3, 5, 4), (3, 5, 7), (3, 6, 4), (3, 6, 7)}
Del producto cartesiano se toman las tuplas que cumplan con la regla.
g: M → N → P = {(2, 5, 4), (2, 6, 4), (2, 6, 7), (3, 5, 4), (3, 6, 4), (3, 6, 7)}
Con un diagrama de flechas se tendría.
A las relaciones de dos conjuntos se les conoce como relaciones binarias o correspondencias binarias. Estas pueden ser homogéneas cuando los conjuntos son los mismos y heterogéneas cuando los conjuntos son distintos. Simbólicamente se expresa:
g: A → B
Que se lee g es la relación binaria de A en B.
Ejemplo 1.
Dado el conjunto A = {1, 2, 4, 6}, determinar la relación binaria definida por la regla: “Los elementos de A son el triple de los elementos de A”.
Hallamos el producto cartesiano de A x A = {(1,1), (1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,2), (2,4), (2,6), (4,1), (4,2), (4,4), (4,6), (6,1), (6,2), (6,4), (6,6)}
Del producto cartesiano se toman los pares ordenados que cumplen con la regla, que básicamente es la dupla que tiene como segundo componente el triple del primero.
g: M → N = {(2, 6)}
Con un diagrama de flechas se tendría:
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos M = {2, 3, 4} y N = {1, 4, 6}, determinar la relación binaria definida por la regla: “Los elementos de M son la segunda parte de los elementos de N”.
Hallamos el producto cartesiano de M x N = {(2,1), (2,4), (2,6), (3,1), (3,4), (3,6), (4,1), (4,4), (4,6)}
Del producto cartesiano se toman los pares ordenados que cumplen con la regla, que básicamente es la dupla que tiene como segundo componente el doble del primero.
g: M → N = {(2,4), (3,6)}
Con un diagrama de flechas se tendría:
