Se conoce como producto cartesiano al conjunto de todas las tuplas que se puedan obtener con los elementos de varios conjuntos. Una tupla es una secuencia ordenada de los elementos de un producto cartesiano o cualquier entidad matemática. Cuando una tupla está formada solo con dos elementos, se le conoce como par ordenado o dupla.
A los elementos de una tupla se les conoce como componentes; los componentes de una tupla se encierran entre paréntesis y separados por comas. Dos tuplas se consideran iguales si los elementos de la tupla son iguales y están colocados en la misma posición o el mismo orden. Por ejemplo, la siguiente tupla de 3 elementos (1, a, 3) no es igual a esta otra (1, 3, a), ya que el componente a es el segundo componente en la primera tupla y el tercer componente en la segunda tupla, es decir, el orden en que se colocan los componentes sí importa para determinar si estos son iguales o no.
El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden obtener con los elementos de dos conjuntos. Un par ordenado o una tupla de dos elementos estará compuesto por un primer elemento de un conjunto y un segundo elemento de otro conjunto. Un par ordenado se escribe encerrando los elementos entre paréntesis y separados por una coma. Es decir, dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano estará formado por los pares ordenados (a, b), en donde el primer elemento a pertenece al conjunto A y el segundo elemento b pertenece al conjunto B. Expresado simbólicamente, tenemos:
A x B = {(a,b)/ a ∈ A y b ∈ B}
En donde nos dice que el producto cartesiano de A x B, está formado por los pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento a pertenece al conjunto B y el segundo elemento b pertenece al conjunto B.
Ejemplo 1.
Si A = {3, 4} y B = {1, 3, 8} y C = {3, 8, 9}, hallar (A x B) ⋂ (B x C).
Hallamos el producto cartesiano de A x B = {(3, 1), (3, 3), (3, 8), (4, 1), (4, 3), (4, 8)}
Hallamos el producto cartesiano de B x C = {(1, 3), (1, 8), (1, 9), (3, 3), (3, 8), (3, 9), (8, 3), (8, 8), (8, 9)}
Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) = {(3, 3), (3, 8)}.
Ejemplo 2.
Si A = {3, 4} y B = {1, 3, {a, b}} y C = {3, 8, 9}, hallar (A x B) ⋂ (B x C).
Hallamos el producto cartesiano de A x B = {(3, 1), (3, 3), (3, {a, b}), (4, 1), (4, 3), (4, {a, b})}
Hallamos el producto cartesiano de B x C = {(1, 3), (1, 8), (1, 9), (3, 3), (3, 8), (3, 9), ({a, b}, 3), ({a, b}, 8), ({a, b}, 9)}
Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) = {(3, 3)}.
La representación gráfica de un producto cartesiano se puede hacer con una tabla cartesiana, diagrama de flechas, diagrama cartesiano o un diagrama de árbol.
Ejemplo 3.
Sean A = {3, 4} y B = {5, 6, 7}. Representar gráficamente el producto cartesiano de A x B, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de A x B = {(3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)}.
Tabla cartesiana:
3 (3,5) (3,6) (3,7) 4 (4,5) (4,6) (4,7) A x B 5 6 7 Diagrama con flechas:
Diagrama cartesiano:
Diagrama de árbol:
Para productos cartesianos de más de dos conjuntos, las tuplas estarán formadas por más de dos elementos, y en estos se suelen nombrar del siguiente modo. Para 3 elementos, 3-tupla, tripla, tripleta, terna o triada; para 4 elementos, 4-tupla o cuádrupla; para 5 elementos, 5-tupla o quíntupla; para 6 elementos, 6-tupla o sixtupla; para 7 elementos, 7-tupla o septupla; para 8 elementos, 8-tupla u octupla; para 9 elementos, 9-tupla y así sucesivamente.
Ejemplo 4.
Sean A = {3, 4}, B = {5, 7} y C = {1, 2}. Representar gráficamente el producto cartesiano de A x B x C, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, un diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de A x B x C = {(3, 5, 1), (3, 5, 2), (3, 7, 1), (3, 7, 2), (4, 5, 1), (4, 5, 2), (4, 7, 1), (4, 7, 1)}.
Tabla cartesiana:
A 3 4 B 5 (3, 5, 1) (3, 5, 2) (4, 5, 1) (4, 5, 2) 7 (3, 7, 1) (3, 7, 2) (4, 7, 1) (4, 7, 2) 1 2 1 2 C C Diagrama con flechas:
Diagrama cartesiano (En perspectiva):
Axioma 01: El producto cartesiano con al menos un conjunto vacío es un conjunto vacío.
Si B = Ø ⇒ A x B = Ø
Axioma 02: El orden en que se hace el producto cartesiano de varios conjuntos produce diferentes productos cartesianos.
A x B x C ≠ B x C x A