Las operaciones con conjuntos, también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir, pero sin que se repitan. Es decir, dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. La unión de conjuntos se puede dar con conjuntos disjuntos y no disjuntos. Cuando usamos diagramas de Venn para representar la unión de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1.
Dados los dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {8, 9, 10, 11}, graficar y hallar la unión de los conjuntos A y B.
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {8, 9, 10, 11}, la unión de estos conjuntos será A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Estos conjuntos son disjuntos, ya que no tienen ningún elemento en común. Usando diagramas de Venn, se puede graficar la solución de dos maneras:
Esta primera forma usa un solo conjunto.
Y la segunda usa dos conjuntos separados.
En ambos casos se deben sombrear los dos conjuntos, para indicar la unión de los mismos.
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, la unión de estos conjuntos será A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A diferencia del ejemplo anterior, estos conjuntos no son disjuntos, por lo que, usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F = { x/x estudiantes que juegan fútbol } y B = { x/x estudiantes que juegan básquet }, la unión será F∪B = { x/x estudiantes que juegan fútbol o básquet }. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.
Dados los dos conjuntos A = {3, 5, 6, 7} y B = {5, 6}, en donde B está incluido en A, la unión será A U B = {3, 5, 6, 7}. Usando diagramas de Venn, se tendría.
Ejemplo 5.
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, a, {1, 2}}, graficar y hallar la unión de los conjuntos A y B.
La unión de estos dos conjuntos es: A ∪ B = {1, 2, 3, a, {1, 2}} y para graficarlo no usaremos diagramas de Venn. Encerramos en un rectángulo los elementos del conjunto {1, 2} que pertenecen al conjunto B. El gráfico correspondiente es:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, solo con los elementos comunes involucrados en la operación de dos conjuntos no disjuntos. Si los conjuntos son disjuntos, entonces esta operación dará como resultado un conjunto vacío. Es decir, dados dos conjuntos A y B no disjuntos, la intersección de los conjuntos A y B estará formada por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes; los elementos no comunes de A y B serán excluidos. Pero, si son disjuntos, el resultado será un conjunto vacío. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, la intersección de estos conjuntos será A ∩ B = {4, 5}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos F = {x/x estudiantes que juegan fútbol} y B = {x/x estudiantes que juegan básquet}, la intersección será F ∩ B = {x/x estudiantes que juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, a , {1, 2}}, graficar y hallar la intersección de los conjuntos A y B.
La intersección de estos dos conjuntos es: A ∪ B = {1} y para graficarlo no usaremos diagramas de Venn. Encerramos en un rectángulo los elementos del conjunto {1, 2} que pertenece al conjunto B. El grafico correspondiente es:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde, de dos conjuntos, el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero, pero no al segundo. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entre A y B estará formada por todos los elementos de A que no pertenezcan a B.
Si los conjuntos son disjuntos, dependiendo de cuál sea el primer conjunto en la operación, el resultado de la operación tendrá solo los elementos del primer conjunto. Es decir, de dos conjuntos disjuntos A y B, la diferencia de A y B estará formada por los elementos de A, pero la diferencia de B y A estará formada por los elementos de B.
El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1.
Dado dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, la diferencia de estos conjuntos será A - B = {1, 2, 3}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dado dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, la diferencia de estos conjuntos será B - A = {6, 7, 8, 9}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dado dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {6, 7, 8, 9, 10}, la diferencia de estos conjuntos será A - B = {1, 2, 3, 4, 5}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.
Dado dos conjuntos F = { x/x estudiantes que juegan fútbol } y B = { x/x estudiantes que juegan básquet }, la diferencia de F con B será F - B = { x/x estudiantes que solo juegan fútbol }. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 5.
Dado dos conjuntos F = { x/x estudiantes que juegan fútbol } y B = { x/x estudiantes que juegan básquet }, la diferencia de B con F será B - F = { x/x estudiantes que solo juegan básquet }. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 6.
Dado dos conjuntos F = { x/x estudiantes que solo juegan fútbol } y B = { x/x estudiantes que solo juegan básquet }, la diferencia de B con F será B - F = { x/x estudiantes que solo juegan básquet }. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 7.
Dado dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, {5, 6}} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, la diferencia de estos conjuntos será A - B = {1, 2, 3, {5, 6}}. Para graficarlo no usaremos diagramas de Venn. Encerramos en un rectángulo los elementos del conjunto {5, 6} que pertenece al conjunto A. El gráfico correspondiente es:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde, de dos conjuntos, el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formada por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. Si los conjuntos son disjuntos, entonces la diferencia simétrica será la unión de estos conjuntos. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {6, 7, 8, 9, 10}, la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que solo juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que solo juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que solo juegan básquet}, la diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que juegan fútbol y básquet, pero no ambos}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 5.
Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, {4, 5}} y B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B = {1, 2, 3, {4, 5}, 6, 7, 8, 9}. Para graficarlo no usaremos diagramas de Venn. Encerramos en un rectángulo los elementos del conjunto {4, 5} que pertenece al conjunto A. El gráfico correspondiente es:
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal que no están en el conjunto. Es decir, dado un conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal, pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación, el complemento de un conjunto se denota con un apóstrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1.
Dado el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y el conjunto A = {1, 2, 9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos: A' = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.
Dado el conjunto universal U = { x/x estudiantes de un colegio } y el conjunto V = { x/x estudiantes que juegan voley }, el conjunto V' estará formado por los siguientes elementos: V' = { x/x estudiantes que no juegan voley }. Usando diagramas de Venn, se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.
Dado el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, {9, 10}} y el conjunto A = {1, 2, 9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos: A' = {3, 4, 5, 6, 7, 8, {9, 10}}. Para graficarlo no usaremos diagramas de Venn. Encerramos en un rectángulo los elementos del conjunto {9, 10} que pertenece al conjunto U. El gráfico correspondiente es:
