La potenciación es la operación que consiste en multiplicar un número tantas veces, lo que indica otro número, el resultado de la operación se denomina potencia, al número que se va a multiplicar tantas veces se denomina base y al número que indica cuántas veces se ha de multiplicar se conoce como exponente. Tal como se muestra a continuación:
ab = c
En donde a es la base, b el exponente y c la potencia, esto se lee o se expresa como: “a elevado a la b es c”. Por ejemplo, 23=8 se expresa como 2 elevado a la 3, es 8, es decir 2x2x2 = 8; y 33=27 se expresa como 3 elevado a la 3, es 27, es decir 3x3x3 = 27.
Otro modo de expresar o escribir la potencia es usando el símbolo del circunflejo ^, este método es usado mucho en hojas de cálculo como Excel o LibreOffice Calc, algunas calculadoras y lenguajes de programación. Generalmente, se usa para escribir la operación, en una sola línea, tal como se muestra a continuación:
a^b=c
En donde a es la base, b el exponente y c la potencia, esto se lee o se expresa como: “a elevado a la b es c”. Por ejemplo, 2^3=8 se expresa como 2 elevado a la 3, es 8, es decir 2x2x2 = 8; y 3^3 = 27 se expresa como 3 elevado a la 3, es 27, es decir 3x3x3=27.
Existen potencias conocidas como el cuadrado de un número que es un número elevado a la 2, y el cubo de un número que es un número elevado a la 3. Por ejemplo, el cuadrado de 3, se escribe como 32=9, y el cubo de 2, se escribe como 23=8.
Se llama potencia primera de un número, a cualquier número elevado a la 1. Por ejemplo, la potencia primera de 5, es 51=5.
Ejemplo 1.
Un estante tiene 4 estanterías y cada estantería tiene 4 cajas, y dentro de cada caja hay 4 regalos. ¿Cuántos regalos hay en el estante?
El estante tiene 4 estanterías y como cada estantería tiene 4 cajas, entonces hay 4x4 = 42 = 16 cajas. Luego si dentro de cada caja hay 4 regalos entonces 16x4 = 4x4x4 = 43 = 64. Lo que nos dice es que 43=64 regalos.
Ejemplo 2.
La cantidad de personas que visitan una tienda aumenta el doble cada hora, si inicialmente había 3 personas. ¿Cuántas personas tendrá la tienda dentro de 5 horas?
En este tipo de problemas podemos observar que las 3 personas representan la cantidad inicial de personas en la tienda. Si pasa una segunda hora, la tienda tendrá 6 personas, 3x2 = 6. En la tercera hora, la tienda tendrá 12 personas, 3x2x2 = 3x22 = 12, en la cuarta hora serán 24 personas, 3x2x2x2 = 3x23 = 24 y finalmente, en la quinta hora, la tienda tendrá 48 personas, 3x2x2x2x2 = 3x24 = 48.
Ejemplo 3.
Un día José ayudó a dos amigos, al día siguiente cada uno de los dos amigos ayudó a dos amigos más. Si esto se repite por 4 días. ¿Cuántos amigos recibieron ayuda?
El primer día se ayudó a dos amigos, el segundo día se ayudó a 2x2 = 22 = 4 amigos, el tercer día 2x2x2 = 23 = 8, y finalmente el cuarto día 2x2x2x2 = 24 = 16.
La multiplicación de un número entero con potencias de 10 consiste en añadir ceros a la derecha del número según el valor que tenga el exponente de una potencia de 10. Es decir:
4 x 105 = 400 000, se añadieron 5 ceros a 4 porque el exponente de 10 es 5.
23 x 103 = 23 000, se añadieron 3 ceros a 23 porque el exponente de 10 es 3.
458 x 106 = 458 000 000, se añadieron 6 ceros al 458 porque el exponente de 10 es 6.
Los axiomas y teoremas de la potenciación con números naturales, son los siguientes:
Axioma 01: La potenciación de un número natural es siempre otro número natural.
Si a, n y c ∈
y an = c ⇒ c ∈
Axioma 02 (Elemento neutro): Existe un numero natural 1, En donde todo numero natural elevado a un exponente 1 es siempre el mismo numero natural.
Si a ∈
Axioma 03: Todo numero natural elevado a un exponente 0 es siempre 1.
Si a ∈
Axioma 04: Si a los dos miembros de una igualdad se elevan al mismo exponente, la igualdad se mantiene.
Si a,b y n ∈
Axioma 05: Si a los dos miembros de una desigualdad se elevan al mismo exponente mayor que cero, la desigualdad se mantiene.
Si a<b ⇒ an<bn ↔ n>0
Si a<=b ⇒ an<=bn ↔ n>0
Si a>b ⇒ an>bn ↔ n>0
Si a>=b ⇒ an>=bn ↔ n>0
En donde a, b y n ∈
Teorema 01: La multiplicación de potencias con el mismo exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es la multiplicación de las bases de las potencias que tienen el mismo exponente.
an·bn·cn=(a·b·c)n, en donde a, b, c y n ∈
Teorema 02: La división de dos potencias, en donde la segunda potencia es distinto de cero y tienen el mismo exponente es otra potencia de igual exponente y cuya base es la división de las bases de las potencias que tienen el mismo exponente.
an:bn=(a:b)n, en donde a, b y n ∈
Teorema 03: La multiplicación de potencias de la misma base con exponentes diferentes, es otra potencia de la misma base en donde su exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se multiplican.
am·an·ap=am+n+p, en donde a, m, n y p ∈
Teorema 04: La división de dos potencias con bases iguales, en donde la segunda potencia es distinto de cero y el exponente de la segunda potencia es menor al de la primera, es otra potencia de la misma base en donde su exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias que se dividen.
am:an=am-n ↔ m>n, en donde a, m y n ∈
Teorema 05: La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y el exponente es la multiplicación de sus exponentes.
((am)n)p=am·n·p, en donde a, m, n y p ∈