La potenciación es la operación que consiste en multiplicar un número tantas veces, lo que indicado por otro número. El resultado de la operación se denomina potencia, al número que se va a multiplicar tantas veces se denomina base y al número que indica cuántas veces se ha de multiplicar se conoce como exponente. Tal como se muestra a continuación:
ab = c
En donde "a" es la base, "b" el exponente y "c" la potencia, esto se lee o se expresa como: "a elevado a la b es c". Por ejemplo, 23=8 se expresa como 2 elevado a la 3, es 8, es decir 2x2x2 = 8; y 33=27 se expresa como 3 elevado a la 3, es 27, es decir 3x3x3 = 27.
Otro modo de expresar o escribir la potencia es usando el símbolo del circunflejo ^. Este método es usado mucho en hojas de cálculo como Excel o LibreOffice Calc, algunas calculadoras y lenguajes de programación. Generalmente, se usa para escribir la operación, en una sola línea, tal como se muestra a continuación:
a^b=c
En donde "a" es la base, "b" el exponente y "c" la potencia, esto se lee o se expresa como: "a elevado a la b es c". Por ejemplo, 2^3=8 se expresa como 2 elevado a la 3, es 8, es decir 2x2x2 = 8; y 3^3 = 27 se expresa como 3 elevado a la 3, es 27, es decir 3x3x3=27.
Existen potencias conocidas como el cuadrado de un número que es un número elevado a la 2, y el cubo de un número que es un número elevado a la 3. Por ejemplo, el cuadrado de 3, se escribe como 32=9, y el cubo de 2, se escribe como 23=8.
Se llama potencia primera de un número, a cualquier número elevado a la 1. Por ejemplo, la potencia primera de 5, es 51=5.
Ejemplo 1.
Un estante tiene 4 estanterías y cada estantería tiene 4 cajas, y dentro de cada caja hay 4 regalos. ¿Cuántos regalos hay en el estante?
El estante tiene 4 estanterías y como cada estantería tiene 4 cajas, entonces hay 4x4 = 42 = 16 cajas. Luego si dentro de cada caja hay 4 regalos entonces 16x4 = 4x4x4 = 43 = 64. Lo que nos dice es que 43=64 regalos.
Ejemplo 2.
La cantidad de personas que visitan una tienda aumenta el doble cada hora, si inicialmente había 3 personas. ¿Cuántas personas tendrá la tienda dentro de 5 horas?
En este tipo de problemas podemos observar que las 3 personas representan la cantidad inicial de personas en la tienda. Si pasa una segunda hora, la tienda tendrá 6 personas, 3x2 = 6. En la tercera hora, la tienda tendrá 12 personas, 3x2x2 = 3x22 = 12, en la cuarta hora serán 24 personas, 3x2x2x2 = 3x23 = 24 y finalmente, en la quinta hora, la tienda tendrá 48 personas, 3x2x2x2x2 = 3x24 = 48.
Ejemplo 3.
Un día José ayudó a dos amigos, al día siguiente cada uno de los dos amigos ayudó a dos amigos más. Si esto se repite por 4 días. ¿Cuántos amigos recibieron ayuda?
El primer día se ayudó a dos amigos, el segundo día se ayudó a 2x2 = 22 = 4 amigos, el tercer día 2x2x2 = 23 = 8, y finalmente el cuarto día 2x2x2x2 = 24 = 16.
Las propiedades de la potenciación con números naturales, son los siguientes:
Propiedad 01: La potenciación de un número natural es otro número natural, siempre y cuando, la base y el exponente sean mayores que cero.
Si a, n y c ∈
y an = c ⇒ c ∈
Propiedad 02 (Elemento neutro): Existe un número natural 1, en donde todo número natural elevado a un exponente 1 es siempre el mismo número natural.
Si a ∈
Propiedad 03: Todo número natural mayor que 0 elevado a un exponente 0 es siempre 1.
Si a ∈
Propiedad 04: Si a los dos miembros de una igualdad de números naturales, se elevan al mismo exponente natural, entonces, la igualdad se mantiene, siempre y cuando, los miembros de la igualdad sean mayores que cero.
Si a,b y n ∈
Propiedad 05: Si a los dos miembros de una desigualdad estricta de números naturales, se elevan al mismo exponente natural, entonces, la desigualdad se mantiene, siempre y cuando, el exponente sea mayor que cero.
Si a<b ⇒ an<bn ↔ n>0
Si a>b ⇒ an>bn ↔ n>0
En donde a, b y n ∈
Propiedad 06: Si a los dos miembros de una desigualdad amplia de números naturales, se elevan al mismo exponente natural, la desigualdad se mantiene, siempre y cuando, los miembros sean mayores que cero.
Si a<=b ⇒ an<=bn ↔ a>0 y b>0
Si a>=b ⇒ an>=bn ↔ a>0 y b>0
En donde a, b y n ∈
Los teoremas de la potenciación con números naturales, son los siguientes:
Teorema 01: La multiplicación de potencias con bases naturales distintas con exponentes naturales iguales y mayores que cero, es igual al producto de sus bases elevadas al mismo exponente.
an·bn·cn=(a·b·c)n, en donde a, b, c y n ∈
Teorema 02: La división de dos potencias con bases naturales distintas mayores que cero con exponentes naturales iguales y mayores que cero, es igual al cociente de sus bases elevados al mismo exponente.
an:bn=(a:b)n, en donde a, b y n ∈
Teorema 03: La multiplicación de potencias con bases naturales iguales mayores que cero y exponentes naturales diferentes, es igual a la misma base elevado a la suma de sus exponentes.
am·an·ap=am+n+p, en donde a, m, n y p ∈
Teorema 04: La división de dos potencias con bases naturales iguales mayores que cero y exponentes naturales diferentes, siendo el primer exponente mayor que el segundo, es igual a la misma base elevado a la diferencia de sus exponentes.
am:an=am-n ↔ m>n, en donde a, m y n ∈
Teorema 05: La potencia con una base natural de una potencia es otra potencia con la misma base elevado al producto de sus exponentes.
((am)n)p=am·n·p, en donde a, m, n y p ∈
A diferencia de las multiplicaciones, en la potenciación no se suele usar o aprender una tabla de potencias, aunque se puede construir una. Lo que se suele es aprender, algunas potencias como son los cuadrados, cubos y potencias en base 2 y 3.
El cuadrado de un número es el número elevado a la dos, es decir, el exponente de la potenciación es el dos. A continuación, los cuadrados de los números desde el 1 hasta el 13.
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
El cubo de un número es el número elevado a la tres, lo que nos dice que el exponente es el tres. A continuación, los cubos de los números desde el 1 hasta el 13.
13 = 1
23 = 8
33 = 27
43 = 64
53 = 125
63 = 216
73 = 343
83 = 512
93 = 729
103 = 1 000
113 = 1 331
123 = 1 728
133 = 2 197
Las potencias de 2 y del 3, hasta un exponente 10, se muestran a continuación:
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1 024
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
37 = 2 187
38 = 6 561
39 = 19 683
310 = 59 049