Se conoce como divisibilidad, al grupo de principios que nos permiten saber si un número es divisible con otro. Un número es divisible con otro cuando la división entre estos números es exacta o es una división posible con números naturales.
Decimos múltiplo al número que contiene a otro número sumado una cantidad exacta de veces. Es decir, si la división a:b es una división exacta entonces el múltiplo es a.
Por ejemplo, en la siguiente división 24:2, el número 24 es múltiplo de 2, ya que la división es exacta y no tiene residuo, es decir, si sumamos 12 veces el número 2 obtendremos el 24. Aquí se puede observar que 12 es la cantidad de veces que se tiene que sumar el 2, para saber si está contenido exactamente en 24.
Para hallar los múltiplos de un número, estos simplemente se obtienen multiplicando dicho número por todos los números naturales, incluyendo el cero. Por ejemplo, los múltiplos de 3 son: 0,3,6,9,12,15,... Esto también, nos dice que los múltiplos de un número son infinitos.
Para expresar simbólicamente que un número es múltiplo de otro número se puede hacer de los siguientes modos:
En donde m es el múltiplo y n es el otro número del cual es múltiplo. Esta expresión simbólica, también nos indica que la división entre m y n es exacta. Por ejemplo, si 12 es múltiplo de 3, entonces se puede escribir del siguiente modo:
Para expresar simbólicamente que un número no es múltiplo de otro, se indica con una suma al costado del múltiplo, el residuo, del siguiente modo:
Esta expresión simbólica, también se usa para indicar que la división de m entre n, no es exacta. Por ejemplo, si 13 no es múltiplo de 3, entonces se escribe del siguiente modo:
Decimos que un divisor es el número que nos indica la cantidad exacta de veces que un número debe sumarse para estar contenido en otro número. Es decir, si la división a:b es una división exacta, entonces b es el divisor de esa división.
Para expresar simbólicamente que un número es divisor de otro, se escribe del siguiente modo:
m|n
En donde m es el divisor y n es el otro número del cual es divisible, esta expresión simbólica nos indica que n entre m es una división exacta. Por ejemplo, si 4 es divisor de 24, entonces se escribe del siguiente modo:
4|24
Para hallar los divisores de un número, solo se deben buscar todos los números que dividen exactamente a ese número.
Ejemplo 1.
Hallar los divisores del número natural 8
Si queremos hallar los divisores de 8, entonces los números 8,4,2, y 1, son sus divisores, ya que al dividir 8 con estos números se obtiene una división exacta.
De todo lo explicado anteriormente, se puede decir entonces que, si un número es múltiplo de un número natural, entonces este número natural será divisor del múltiplo de ese número natural. Es decir, si 24 es múltiplo de 2, entonces 2 es divisor de 24. Simbólicamente tenemos:
Se tiene que tener presente que todo número natural es múltiplo de sí mismo y también es múltiplo de 1. Para la primera situación vemos que, si hallamos los múltiplos de un número, el segundo en la lista será el mismo número, es decir, 3, es múltiplo de 3, porque los múltiplos de 3 son 0,3,6,9,12… Para el segundo caso, si hallamos todos los múltiplos de 1, obtenemos todos los números naturales, con lo que cualquier número natural será múltiplo de 1, es decir, 4=1k, 5=1k, 0=1k, n=1k, etc.
Por otro lado, el cero es múltiplo de cualquier número natural, pero el cero es el único número que tiene como múltiplo al cero, es decir, si hallamos los múltiplos de 0, multiplicando este con todos los números naturales, entonces obtendremos una lista de ceros, esto nos dice que el cero tiene como múltiplo solo al cero. Podemos decir que 0 es múltiplo de 0, pero no podemos decir que 0 es divisor de 0, podemos decir que 0 es múltiplo de 4, pero no podemos decir que 0 es divisor de 4. Esto nos dice que, si un número es múltiplo de un número natural, entonces este número natural será divisor del múltiplo de ese número natural, siempre y cuando este sea distinto de cero.
En los siguientes teoremas las letras usadas para identificar los números son todos números naturales, estos teoremas son los que rigen los principios fundamentales de la divisibilidad, es decir, son las bases y fundamentos necesarios que nos ayudan a saber sin un número natural o varios son divisibles o múltiplos con otro.
Teorema 01.
"Si varios números naturales son múltiplos de otro número natural, entonces la suma de esos números da un múltiplo del otro número"
Si a=n̊, b=n̊, c=n̊, => a+b+c=n̊
Corolario: "Si un número natural es divisor de varios números naturales, entonces es divisor de la suma de los otros números"
Si n|a, n|b, n|c => n|a+b+c
Teorema 02.
"Si dos números naturales son múltiplos de otro número natural distinto de cero, entonces la resta del mayor con el menor dará como resultado un múltiplo del otro número"
Si a=n̊ y b=n̊ entonces a-b=n̊ ↔ a>b y n≠0
Corolario: "Si un número natural distinto de cero es divisor de dos números naturales, entonces es divisor de la resta del mayor con el menor de los otros dos números"
Si n|a y n|b entonces n|(a-b) ↔ a>b y n≠0
Teorema 03.
"Si varios números naturales son múltiplos de otro número natural, entonces el producto de esos números será múltiplo del otro número"
Si a=n̊, b=n̊, c=n̊ → (abc)=n̊
Corolario: "Si un número natural es divisor de otros números naturales, entonces es divisor del producto de los otros números"
Si n|a, n|b, n|c → n|(abc)
Teorema 04.
"Dado un número natural n y varios números naturales, si uno de ellos no es múltiplo del número n pero los otros si lo son, entonces la suma de estos no será múltiplo del número n"
Si a=n̊, b=n̊, c≠n̊ → a+b+c≠n̊
Corolario: "Dado un número natural n y varios números naturales, y si el número n no es divisor de uno de ellos, pero los otros si lo son, entonces el número n no será divisor de la suma de esos números"
Si n|a, n|b, n∤c → n∤(a+b+c)
Teorema 05.
“Dado un número natural n y varios números naturales, si uno de ellos no es múltiplo del número n, pero los otros si lo son y la suma de todos ellos no es múltiplo del número n, entonces el residuo del número que no es múltiplo del número n es igual al residuo de la suma de todos los números que no son múltiplos del número n”
Si a=n̊, b=n̊, c=n̊+r1, a+b+c=n̊+r2 → r1=r2
Corolario: “Dado un número natural n y varios números naturales, si el número n no es divisor de uno de ellos, pero si es divisor de los otros y tampoco es divisor de la suma de todos ellos, entonces el residuo que se obtiene del número que no es divisor del número n es igual al residuo que se obtiene cuando la suma de todos los números no es divisor del número n”
Si n|a, n|b, c=n̊+r1, a+b+c=n̊+r2 → r1=r2
Teorema 06.
“Dado un número natural n, si de varios números naturales, todos ellos no son múltiplos del número n, pero la suma de sus residuos, es múltiplo del número n, entonces el número n es múltiplo de la suma de esos números.”
Si a=n̊+r1, b=n̊+r2, c=n̊+r3, r1+r2+r3=n̊ → (a+b+c)=n̊
Corolario: “Dado un número natural n, si el número n no es divisor de varios números naturales, pero el número n es divisor de Ia suma de los residuos de esos números, entonces el número n es divisor de la suma de esos números”
Si a=n̊+r1, b=n̊+r2, c=n̊+r3, n|(r1+r2+r3) → n|(a+b+c)
Teorema 07.
“Si varios números naturales son múltiplos de un número natural n y el número n es múltiplo de un número natural m, entonces los otros números son múltiplos del número m”
Si a=n̊, b=n̊, c=n̊ y n=m̊ → a=m̊, b=m̊, c=m̊
Corolario: “Si un número natural n es divisor de varios números naturales y un número natural m es divisor del número n, entonces el número m es divisor de los otros números”
Si n|a, n|b, n|c y m|n → m|a, m|b, m|c
Teorema 08.
“Si dos números naturales no son múltiplos de un tercer número natural, pero sus residuos son iguales, entonces la resta y la multiplicación de los dos números son múltiplos del tercero”
Si a=n̊+r1, b=n̊+r2 y r1=r2 → ab=n̊ y a-b=n̊ ↔ a>b
Corolario: “Si un tercer número natural no es divisor de dos números naturales, pero sus residuos son iguales, entonces el tercer número es divisor de la resta y multiplicación de los dos números”
Si a=n̊+r1, b=n̊+r2 y r1=r2 → n|ab y n|(a-b) ↔ a>b
Teorema 09.
“De una división inexacta, si el dividendo y el divisor, son múltiplos de un número natural, entonces el residuo es múltiplo de ese número”
Si a=bc+r, a=n̊ y b=n̊ → r=n̊
Teorema 10.
“De una división inexacta, si el divisor y el residuo son múltiplos de un número natural, entonces el dividendo es múltiplo de ese número”
Si a=bc+r, b=n̊ y r=n̊ → a=n̊