La División es la operación inversa de la multiplicación, en donde se busca un numero (cociente) que nos indique cuantas veces se debe sumar otro numero (divisor) para obtener un número ya conocido (dividendo). Al numero conocido se le llama dividendo, y al numero buscado se le conoce como cociente, y el numero que se debe sumar tantas veces se le conoce como divisor.
Ejemplo 1.
¿Cuantas veces se necesita sumar el 5 para obtener 20?.
Como se puede observar si probamos con sumar 4 veces el 5, entonces obtendremos el 20, con lo que el cociente que nos indica cuantas veces sumar el divisor 5, es el 4.
El signo de la División, puede ser la barra oblicua /, dos puntos :, o él óbelo ÷, colocado entre dos números del siguiente modo:
En donde a es el dividendo, b el divisor, y c el cociente. En toda división el divisor, siempre debe ser mayor que 0, es decir:
Otro modo de escribir la división es dibujando una línea horizontal y colocar encima de ella el Dividendo y debajo el divisor, tal como se muestra a continuación.
Como la división es la operación inversa de la multiplicación, entonces si multiplicamos el divisor con el cociente se obtiene el Dividendo, es decir:
La División no siempre es posible con los números naturales, es decir no siempre es posible encontrar un cociente que nos indique cuantas veces se debe sumar el divisor.
Cuando la división es posible con números naturales a esta se le conoce como división exacta, y cuando no es posible se conoce como división inexacta, y se suele decir que el divisor no es divisor del dividendo. Es decir el divisor queda denominado o indicado como un número que intenta dividir al dividendo. Hay que entender que no existe una denominación, nombre o término especial para el número que intenta dividir al dividendo, simplemente se debe especificar que ese número no es un divisor o que la división no es exacta.
La división inexacta se representa simbólicamente del siguiente modo:
en donde a es el dividendo, b es el no divisor, c el cociente y r el resto o residuo.
Ejemplo 2.
¿Cuantas veces se necesita sumar el 3 para obtener el 14?.
Como se puede observar, si sumamos 2 veces el 3 obtenemos el 6 (3+3=6), pero si sumamos 3 veces el 3 obtenemos el 9 (3+3+3), y si sumamos 4 veces el 3 tendremos el 12 (3+3+3+3), el 12 sería el número más cercano al 14, faltando sólo sumar el 2 para obtener el 14, si seguimos buscando encontraremos sólo números mayores al 14. El número 2 que nos falta sumar para obtener el 14 se conoce como resto o residuo.
Otra definición de la división es la de reparto, en donde se intenta repartir el dividendo en partes iguales al divisor o denominador en donde la cantidad de partes es el cociente. Cuando el reparto no se logra se dice que es una división inexacta, en donde el resto o residuo, indica lo que falta o queda por repartir.
Ejemplo 3.
Se desea repartir 40 manzanas a un grupo de 5 personas.
Para ello tenemos que 40 manzanas representan el dividendo y las 5 personas representa el divisor o denominador, con eso podemos ir probando, primero repartimos 2 manzanas a cada persona y nos da 5+5=5x2=10, que no es el total de manzanas a repartir, seguimos probando con 3 y nos da 5+5+5=5x3=15, que no es el total de manzanas a repartir, y finalmente probamos con 4 y nos da 5+5+5+5=5x4=20, que nos dice que la cantidad de manzanas a repartir es 4 el cociente.
Hay que entender que las divisiones inexactas no dan como resultado un número natural, aunque el cociente sea un número natural, esta división inexacta tiene un residuo, que nos indica que al resultado de esa operación le falta algo por dividir, y es por eso que no podemos decir que el resultado de esta división sea un número natural. Solo las divisiones exactas, dan como resultado un número natural, ya que no tienen residuo o su residuo es cero.
La división con números naturales, está pensado para ser usado solo con dos números naturales y no con una secuencia de números naturales, como sucede en la multiplicación o suma de números naturales. Aunque, se puede indicar una secuencia de números a dividir, siempre y cuando las divisiones sean exactas, entonces se procede a operar de izquierda a derecha. Es decir, la división de esta secuencia de números 20,2 y 5, lo operamos de izquierda a derecha del siguiente modo, primero dividimos 20:2 obteniendo 10 y luego dividimos entre 5 para obtener como resultado final 2, poniendo todo junto con el símbolo de división tendremos: 20:2:5=2.
La división con números naturales no tiene un axioma de clausura, esto debido a que, si tenemos una división inexacta entonces el resultado de esta división no será un número natural, aunque el cociente sea un número natural, esta división inexacta tiene un residuo, que nos indica que al resultado de esa operación le falta algo por dividir, y es por eso que no podemos decir que el resultado de esta división sea un número natural.
También se considera a la división con números naturales, anti conmutativa, ya que el orden en que se operan si altera el resultado, es decir, si dividimos 8:2, obtenemos 4, pero si dividimos 2:8, obtenemos otro resultado que no pertenece a los números naturales.
La división con números naturales, tampoco es asociativa, esto se debe a que la división con números naturales está pensando solo para operarse con dos números naturales, y si tenemos una secuencia de números naturales a dividir, al agrupar o asociar un grupo de números de distintas formas, no obtendremos el mismo resultado.
Por ejemplo veamos la siguiente secuencia de números naturales a dividir 8:4:2, si agrupamos con parńetesis el 8 y el 4 para dividirlo primero y después dividirlo con el 2, tendríamos las siguientes operaciones:
8:4:2
(8:4):2
2:2
1
Tal como se puede observar, aquí dividimos primero lo que está entre paréntesis, es decir, 8:4=2, y siguiendo las operaciones obtenemos como resultado 1.
Ahora agrupemos con paréntesis los números 4 y 2, de la misma secuencia, en donde al realizar las operaciones, tendremos lo siguiente.
8:4:2
8:(4:2)
8:2
4
Tal como se puede observar, los resultados son distintos. Al dividir primero 8 con 4, se llega a obtener un resultado distinto que cuando se divide primero el 4 con el 2. Es decir, (8:4):2 ≠ 8:(4:2).
Esto también nos dice que la división no es disociativa. No obstante, la división con números naturales tiene un elemento neutro, que nos dice.
Axioma del elemento neutro.
Existe solo un número natural, el 1, al que se le llama elemento neutro, que al dividir a otro número natural se obtiene el mismo número natural. Solo si el número natural 1 es el divisor.
Simbólicamente.
Si a ∈
⇒ a : 1 = a
Hay que tener presente que el elemento neutro en la división con números naturales es el 1 y este debe ser siempre el divisor, el elemento neutro no puede ser él dividendo.
En la división con números naturales, existe el elemento absorbente que es el cero, y su correspondiente axioma es el siguiente.
Axioma del elemento absorbente.
Existe solo un número natural, el 0, al que se le llama elemento absorbente, que al dividir el 0 con a otro número natural se obtiene 0. Siempre y cuando el 0 sea el dividendo.
Simbólicamente
Si a ∈
Los axiomas de uniformidad funcionarán con los números naturales, si estos son divisiones exactas y el divisor es mayor que 0. Dicho de otro modo, los axiomas de uniformidad se cumplirán siempre y cuando se puedan dividir los números naturales, involucrados en estos axiomas.
Al igual que en la suma, la resta y multiplicación de números naturales, los axiomas de uniformidad tienen que ver con las relaciones de igualdad con números naturales. Y estos axiomas son dos, siendo el siguiente el primero de ellos.
Primer axioma uniforme de la división.
"Si a ambos miembros de una igualdad se le divide el mismo número, la igualdad se mantiene. Siempre y cuando el divisor sea mayor que cero"
Simbólicamente:
Si a, b y c ∈
Este axioma nos dice que si tenemos una igualdad como 8 = 8, y dividimos a cada miembro un número natural que los pueda dividir como el 2, entonces la igualdad se mantiene y queda dividido con 2, del siguiente modo 8 : 2 = 8 : 2, obteniendo una nueva igualdad, que será 4 = 4.
No obstante, se debe entender que si el divisor es un número natural que genera una división inexacta, esta desigualdad se mantiene, aunque el resultado de estas divisiones no será, un número natural. Es decir, si tenemos la siguiente igualdad 5 = 5, y le dividimos el 3 a cada miembro de la igualdad, entonces tendremos la siguiente igualdad, 5 : 3 = 5 : 3, pero, se debe tener presente que al dividir 5 : 3, no da como resultado una división exacta con los números naturales, y el resultado no será un número natural.
Ejemplo 1.
Vladimiro tenía S/ 100 soles para dar propina a sus hijos, después de repartir su dinero entre sus 5 hijos se quedó sin nada. Su amigo, Cesar, también tiene 5 hijos y tenía la misma cantidad de dinero, para dar la propina entre sus hijos, y también se quedó sin nada. ¿Cuánto de propina recibió cada hijo de Cesar?
Aquí establecemos una igualdad entre lo que tenía Vladimiro y Cesar, según el planteamiento del problema, ambos tenían la misma cantidad de dinero, por lo tanto, si Vladimiro repartió S/ 100 entre sus 5 hijos, entonces Cesar repartió S/ 100 entre sus 5 hijos, con lo que cada hijo de Cesar recibió S/ 20 soles de propina.
El segundo axioma uniforme de la división, tiene en cuenta el uso de dos igualdades, y se debe tomar en cuenta que ambas igualdades se pueden dividir entre sus miembros, es decir, deben ser divisiones exactas y la igualdad que será el divisor debe ser mayor que cero, este axioma nos dice.
Segundo axioma uniforme de la división.
"Cuando se dividen miembro a miembro dos igualdades, se obtiene otra igualdad, siempre y cuando los miembros de la segunda igualdad sean mayores que cero, y las divisiones sean exactas"
Simbólicamente.
Si a, b, c y d ∈
Esto nos dice que si tenemos las siguientes igualdades 8 = 8 y 4 = 4, y dividimos la primera igualdad entre la segunda miembro a miembro, entonces la igualdad se mantiene, es decir, tendremos esto: 8 : 4 = 8 : 4, obteniendo una nueva igualdad que será 2 = 2.
Si al dividir miembro a miembro las igualdades obtenemos divisiones inexactas, entonces la igualdad se mantiene, aunque los resultados de esas divisiones no serán números naturales. Es decir, si tenemos las siguientes igualdades 8 = 8 y 3 = 3, y luego dividimos la primera igualdad con la segunda igualdad, miembro a miembro, la igualdad se mantiene 8 : 3 = 8 : 3, aunque los resultados de esas divisiones no sean números naturales.
Ejemplo 2.
Un profesor tiene 200 chocolates, su colega también tiene la misma cantidad de chocolates, ambos deciden repartir los chocolates entre sus alumnos. Si cada profesor tienen 20 alumnos. ¿Cuántos chocolates le toca a cada alumno?
Como los profesores tienen la misma cantidad de chocolates y tienen la misma cantidad de alumnos, entonces podemos dividir los 200 chocolates entre los 20 alumnos, de uno de los profesores, y el resultado obtenido nos dice la cantidad de chocolates que recibe cada alumno.
Los axiomas de monotonía en la división con números naturales se cumplen siempre y cuando la división sea exacta, o mejor dicho el resultado sea un número natural.
El primer axioma de monotonía de la suma nos dice: "Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma el mismo número, la desigualdad permanece", este axioma en el caso de la división cambiaria la operación suma por el de división, pero teniendo en cuenta que el dividendo debe ser mayor que cero. Debido a esto, se tendrá dos axiomas.
Primer axioma de monotonía de la división.
"Cuando un número divide a cada miembro de una desigualdad, y este número es mayor que cero, entonces la desigualdad se mantiene."
Para expresar simbólicamente este axioma, se toma en cuenta las desigualdades estrictas y amplias. A continuación una tabla con las desigualdades, y la expresión simbólica del mismo con respecto a esta propiedad.
Este axioma nos dice que si tenemos una desigualdad como, 10 < 20, y dividimos miembro a miembro la desigualdad con 10, entonces la desigualdad se mantiene, teniendo en cuenta que los miembros de la desigualdad, quedan divididos por 10, es decir, tendremos lo siguiente: 1 < 10, ya que 10:10 = 1 y 20:10 = 10.
Ejemplo 1.
De dos terrenos, el primer terreno es de 1 200 km2, y el segundo terreno es menor que el primero. Se desea construir 5 viviendas en ambos terrenos. ¿Cuántos km2 como máximo podrían tener las viviendas del segundo terreno?
Si el primer terreno es mayor que el segundo, entonces al dividir el tamaño del primer terreno con la cantidad de viviendas que se desea, el área en km2 de cada vivienda, del primer terreno, será mayor que el área de cada vivienda del segundo terreno. Con lo que al dividir 1 200 km2 entre 5, obtenemos 240 km2 por vivienda para el primer terreno.
Pero lo que nos piden es cuantos km2 como máximo pueden tener las viviendas del segundo terreno, es decir, si sabemos que las viviendas del segundo terreno, son menores que 240 km2, entonces el terreno de estas viviendas podría ser 239 km2, 238 km2, 237 km2, 236 km2, 235 km2, … ,etc. Pero como nos piden el máximo, entonces el máximo en km² de las viviendas del segundo terreno es 239 km2
El segundo axioma de la división se da cuando, los miembros de la desigualdad, dividen a un número, es decir, los miembros de la desigualdad, serán los divisores. Este axioma nos dice.
Segundo axioma de monotonía de la división.
"Cuando los miembros de una desigualdad, dividen a un número natural, entonces la desigualdad cambia de sentido. Siempre y cuando los miembros de la desigualdad sean mayores que cero"
En este caso la desigualdad "no es igual que", no puede cambiar de sentido, ya que no lo tiene, entonces esta desigualdad se mantiene sin cambios, a continuación se expresa simbólicamente este axioma, solo con las desigualdades estrictas y amplias.
El segundo axioma, nos da a entender que teniendo la siguiente desigualdad 2 < 4, y un número que pueda ser dividido con los miembros de la desigualdad, digamos el 8, podemos obtener la siguiente desigualdad con sentido contrario 4 > 2, ya que 8:2 = 4 y 8:4 = 2.
Ejemplo 2.
Se tienen dos terrenos del mismo tamaño de 1440 km2 cada uno, en el primer terreno se desean construir 5 casas, y en el segundo terreno se construirá más casas que en el primer terreno. ¿Cuántos km2 como máximo podrían tener las casas del segundo terreno?
Como los dos terrenos tienen el mismo tamaño y además la cantidad de casas del primer terreno es menor que la cantidad de casas del segundo terreno, entonces al dividir los terrenos entre las cantidades de casas, obtendremos el área de cada casa, siendo, el área de las casas del primer terreno, mayores que las del segundo.
Dividiendo 1 440 km2 entre 5, obtenemos que el área de las casas del primer terreno son 288 km2, pero, como la cantidad de casas del segundo terreno es mayor que 5 entonces, el segundo terreno podría tener 6, 8, 9, 10, casas, etc. Lo que debemos hacer es dividir 1440 entre la cantidad de casas que podría tener el segundo terreno, haciendo que los terrenos sean más pequeños, conforme la cantidad de casas aumente. Con lo que es, suficiente dividirlo entre 6 y obtendremos que 240 km2, es el máximo tamaño que podría tener una casa en el segundo terreno.
El tercer axioma de monotonía de la división tiene que ver con dos desigualdades con sentidos contrarios, estas desigualdades tienen que cumplir, que los miembros de la segunda desigualdad sean mayores que cero. A continuación el axioma.
Tercer axioma de monotonía de la división
"Cuando se dividen miembro a miembro dos desigualdades con sentidos contrarios, siendo los miembros de la segunda desigualdad mayores qué cero, entonces se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la primera."
Obviamente, aquí no se toma en cuenta la desigualdad "no es igual que", y por ende, simbólicamente este tercer axioma será.
Ejemplo 3.
Se tienen dos terrenos, uno de 1 920 km2, y el otro es de 1 440 km2, en el primer terreno se desean construir 6 casas, en el segundo más. Si el área de las casas del segundo terreno es un número natural ¿Cuántos km2 como máximo podrían ser las casas del segundo terreno?
Si el tamaño del primer terreno es mayor que el segundo terreno, y la cantidad de casas a construir del primer terreno es menor que el segundo, entonces el área de las casas del primer terreno serán mayores que las áreas de las casas del segundo terreno. Si la cantidad de casas del primer terreno deben ser mayores, entonces en el segundo terreno se podrían construir 7, 8, 9, 10, etc. Y como nos piden que el área sea un número natural, entonces al dividir 1440 km2 entre 8, nos da la respuesta. Siendo 180 km2 lo máximo que podrían tener las casas del segundo terreno
En el caso de la multiplicación, los axiomas distributivos permiten conectar las operaciones de suma y resta con la multiplicación. Pero, si cambiamos la operación de multiplicación con la de división, entonces los axiomas distributivos permitirán conectar las operaciones de suma y resta con la división. Sin embargo, debido a que la división es anti conmutativa, es decir, el orden en que se operan los números a dividir, da resultados diferentes. No podemos decir que la suma de varios números naturales, dividido con un número natural cualquiera, será igual, al número cualquiera dividido entre una suma de números naturales, y lo mismo sucede con la resta. Es por eso que los axiomas distributivos solo se dan, cuando la suma y resta de números naturales se divide entre cualquier número natural. A continuación el primer axioma distributivo con respecto a la suma.
Axioma distributivo con respecto a la suma
"Un número cualquiera que divide la suma de varios números, es igual a la suma de la división de cada sumando entre el número cualquiera. Siempre y cuando el número cualquiera sea mayor que cero."
Simbólicamente.
Si k ∈
Este axioma nos dice que si un número cualquiera, divide, a la suma de varios números, el resultado que se obtiene, será el mismo, si el número cualquiera, divide a cada uno de los números antes de sumarlos. Es decir, tenemos la siguiente suma 8 + 4 + 10, al resultado lo dividimos entre 2, entonces tenemos (8 + 4 + 10):2 = 22:2 = 11, pero si ahora, a cada número de la suma lo dividimos con 2 antes de sumarlo tendremos 8:2 = 4, 4:2 = 2, 10:2 = 5, y luego sumamos los resultados obtenidos tenemos 4 + 2 + 5 = 11, que es el mismo resultado.
Ejemplo 1.
Un padre de familia, compro golosinas, tiene 30 chocolates, 60 caramelos y 15 bombones, para repartirlo entre sus tres hijos. ¿Cuántas golosinas le toca a cada uno de sus hijos?
Para resolver este problema tenemos dos maneras de hacerlo sumamos todas las golosinas y luego lo dividimos entre 3, es decir, (30 + 60 +15)/3 = 35 golosinas para cada hijo.
La otra manera, dividimos la cantidad de cada golosina entre 3 y luego sumamos los resultados obtenidos, es decir, 30/3 + 60/3 + 15/3 = 10 + 20 + 5 = 35 golosinas para cada hijo.
El axioma distributivo, con respecto a la resta con números naturales, está restringido solo al minuendo y sustraendo. Debido a que la resta con números naturales, no está pensando para usarse con una secuencia de números. Este axioma nos dice.
Axioma distributivo con respecto a la resta
"Un número cualquiera que divide la resta de dos números, es igual al minuendo y sustraendo dividido por el número cualquiera, Siempre y cuando el número cualquiera sea mayor que cero."
Simbólicamente.
Si k, m y s ∈
En donde m es el minuendo y s el sustraendo.
Este axioma nos da a entender, que si restamos dos números para luego dividirlo entre otro, nos dará el mismo resultado si antes dividimos cada número entre el otro número, y luego restamos. Por ejemplo, si restamos 10 - 4, nos da 6, luego dividimos el resultado entre 2, tendremos 3. Ahora, si dividimos antes de restar 10 y 4 con el 2, tendremos 10:2 = 5 y 4:2 = 2, restamos estos resultados, 5 - 2 y obtenemos 3.
Ejemplo 2.
Se desea repartir 100 zapatos entre dos tiendas antes de acabar el día, pero solo se repartió 80 zapatos entre las dos tiendas. ¿Cuántos zapatos faltan repartir para cada tienda?
Aquí también se puede resolver este problema de dos maneras. Restamos los 100 zapatos repartidos de los 80 que se repartieron, luego dividimos el resultado entre las dos tiendas, es decir, (100 - 80)/2 = 20/2 = 10 zapatos faltan por repartir en cada tienda.
La otra manera es dividir los 100 zapatos entre las dos tiendas, para saber la cantidad que se debieron repartir por tienda, y luego dividir los 80 zapatos que se repartieron realmente entre las dos tiendas, luego hallar la diferencia entre esos dos resultados, es decir, 100/2 - 80/2 = 50 - 40 = 10 zapatos faltan por repartir en cada tienda.
Estos axiomas toman en cuenta las divisiones inexactas y el residuo, veamos el primero de ellos.
Axioma 1.
"En una división inexacta, teniendo el dividendo menor que el divisor, el cociente siempre será 0 y el residuo será el dividendo"
Simbólicamente.
Si a, b, c y r ∈
Siendo la letra a el dividendo, la letra b el divisor, la letra c el cociente y r el residuo.
Este axioma nos indica que si tenemos un dividendo menor que el divisor, entonces el residuo será el dividendo y el cociente será cero. Es decir, si tenemos la siguiente división 3:4, entonces el resultado de la misma será 0 con residuo 3.
El siguiente axioma lo que hace es multiplicar el dividendo y el divisor, con otro número.
Axioma 2.
"En una división inexacta, si multiplicamos el dividendo y el divisor por un número cualquiera, el residuo queda multiplicado por este número pero el cociente sigue siendo el mismo"
Simbólicamente
Si a, b, c, r y k ∈
Siendo la letra a el dividendo, la letra b el divisor, la letra c el cociente y r el residuo.
Para entender este axioma, tomemos la siguiente división inexacta 10:3, con cociente 3 y residuo 1. Si multiplicamos el dividendo y el divisor con el 2, como un número cualquiera, entonces el dividendo será 20 y el divisor 6. Si después dividimos 20:6, tendremos como cociente el 3 y como residuo 2, que nos dice que el residuo de la división anterior se multiplicó por 2 y que el cociente no se alteró, al multiplicar el dividendo y el divisor con el 2.
El siguiente axioma, a diferencia del anterior, tiene que ver con el hecho de dividir el dividendo y el divisor entre otro número cualquiera.
Axioma 3.
"En una división inexacta, si el dividendo y el divisor se divide entre un número cualquiera, el residuo queda dividido entre ese número pero el cociente sigue siendo el mismo"
Simbólicamente
Si a, b, c, r y k ∈
Siendo la letra a el dividendo, la letra b el divisor, la letra c el cociente y r el residuo.
Para entender este tercer axioma, tomemos la siguiente división 10:6 con cociente 1 y residuo 2. Si dividimos el dividendo y el divisor con el 2, como un número cualquiera, entonces el dividendo será 5 y el divisor 3. Si después dividimos 5:3, tendremos como cociente el 1 y como residuo 1, que nos dice que el residuo de la división anterior se dividió entre 2 y que el cociente no se alteró al dividir el dividendo y el divisor entre 2.