Al igual que la suma con números naturales, para expresar simbólicamente las siguientes propiedades, usaremos las letras "a", "b" y "c", que representarán tres números naturales diferentes. También usaremos el símbolo ⇒, que como se explicó anteriormente, significa literalmente la palabra entonces.

El cero en la multiplicación, a diferencia de la suma, tiene un comportamiento distinto, y su comportamiento se define con la siguiente propiedad.

Propiedad del elemento nulo o cero.

"Existe solo un número, el cero, al que se le llama elemento nulo, que al multiplicar con otro número el resultado será cero."

Simbólicamente

Sí a ∈ ⇒ a x 0 = 0

Esta propiedad nos dice, que al multiplicar cualquier número con el cero, el resultado será cero, recordemos que la multiplicación es sumar un número tantas veces lo indica otro número, es decir, si multiplicamos 5 x 0, estamos indicando que debemos sumar 5 veces el cero o que debemos sumar 0 veces el 5. En el caso de sumar 5 veces el 0, es obvio que tendremos 0, pero el hecho de sumar 0 veces el 5, nos indica que no debemos sumar nada, y por ende el resultado de sumar 0 veces un número debe ser 0.

La segunda propiedad que veremos es el de la clausura. Al igual que la suma, esta propiedad nos da a entender que el resultado de cualquier multiplicación debe ser un número natural.

Propiedad clausura.

"Cuando se multiplican números naturales, el resultado es siempre otro número natural."

Simbólicamente

Sí a y b ∈ ⇒ a x b ∈

Al igual que sucede con la suma, esta propiedad, nos da a entender que si multiplicamos un número natural con otro número natural, el resultado siempre será un número natural. Pero, si multiplicamos un número natural con otro número que no sea natural, entonces el resultado podría ser un número natural u otro número.

Ejemplo 1.

Camila compra 5 bolsas de azúcar, y cada bolsa de azúcar pesa medio kilo. ¿Cuántos kilos de azúcar compro?

Aquí podemos observar que medio kilo de azúcar, no se puede representar como un número natural, para ello necesitamos de los números fraccionarios o reales. Entonces, podemos decir que este problema no tiene solución con números naturales, ya que la propiedad de clausura no se cumple, ya que si multiplicamos medio kilo con 5, obtendremos un número que no es natural.

Sin embargo, si se cambia la pregunta a ¿Cuántos gramos de azúcar compro?, entonces medio kilo de azúcar son 500 gramos y, como compró 5 bolsas, la respuesta es multiplicar 5 x 500, con lo que se obtendría 2 500 gramos de azúcar.

A diferencia de la suma, en la multiplicación el elemento neutro es el 1. Y se llama elemento neutro, porque al multiplicarlo con cualquier número natural, el resultado será el mismo número natural. La propiedad que define el elemento neutro es el siguiente.

Propiedad del elemento neutro.

"Existe solo un número, el uno, al que se le llama elemento neutro, que al multiplicar con otro número no altera el resultado de la multiplicación."

Simbólicamente

Si, a ∈ ⇒ a x 1 = a

.

Al multiplicar un número con 1, le estamos indicando que debemos sumarlo una sola vez, y como no hay otro número más con que sumarlo, entonces solo queda el número que hemos multiplicado. Lo que acabo de explicar, es lo que nos da a entender la propiedad del elemento neutro. No obstante, al multiplicar digamos 5 por 1, podemos decir que debemos sumar 5 veces el 1 o sumar 1 vez el 5. Si sumamos 5 veces el 1, obtendremos el 5, es decir, el mismo número.

La propiedad conmutativa en la multiplicación, nos dice:

Propiedad conmutativa.

"El orden de los factores no alterará el resultado de la multiplicación"

Simbólicamente

Sí, a, b y c ∈ ⇒ a x b x c = c x b x a.

Esta propiedad nos da a entender que si multiplicamos cualquier número natural, cambiando la posición en que se multiplican, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo, si multiplicamos 2 x 3 x 4, obtenemos 24 y si intercambiamos la posición del 2 con el 4, es decir, si multiplicamos, 4 x 3 x 2, también obtendremos 24.

Tomando en cuenta la definición simbólica de esta propiedad, las letras "a", "b" y "c", puede representar cualquier número natural o el resultado de otra multiplicación.

Ejemplo 1.

Encuentre tres formas diferentes para multiplicar los siguientes números naturales: 5, 10, y 3.

Para hallar tres formas diferentes de multiplicar estos tres números, lo que se debe hacer es cambiar el orden en que se multiplican los números, lo que nos puede dar las siguientes tres formas.

5 x 10 x 3 = 150. Primera forma
5 x 3 x 10 = 150. Segunda forma
10 x 3 x 5 = 150. Tercera forma

Se debe tener presente que hay más formas diferentes para multiplicar los tres números, pero solo nos piden tres de ellas.

La propiedad asociativa de la multiplicación, nos dice lo siguiente.

Propiedad asociativa.

"La multiplicación de varios números naturales no varía sustituyendo algunos de esos números por su producto"

Simbólicamente

Sí, a, b y c ∈ ⇒ a x b x c = (a x b) x c

Esta propiedad, nos dice que si multiplicamos varios números naturales, podemos agruparlos y multiplicar cada grupo de manera independiente, para luego multiplicar todos los resultados de cada grupo. Si agrupamos después los mismos números de otro modo, multiplicando esos grupos obtendremos el mismo resultado. Es decir, no importa la manera en como se agrupan los números, al multiplicarlos siempre se obtendrá el mismo resultado.

Se suelen usar los paréntesis, para indicar qué grupo de números multiplicar de manera independiente, para después multiplicarlo con los otros grupos.

La diferencia entre la propiedad conmutativa y asociativa, está en que el primero cambia la posición o el orden en que se multiplican varios números, y el otro simplemente agrupa los números para multiplicarlos.

Ejemplo 1

Encuentre tres formas diferentes de multiplicar, usando la propiedad asociativa con los siguientes números naturales: 2, 3, y 5.

Debemos observar que la cantidad máxima de factores para cada grupo de números será de dos números, es decir, formaremos grupos de dos números a multiplicar. Con lo que tendremos.

(2 x 3) x 5 = 6 x 5 = 30. Primera forma, se multiplica primero 2 x 3.
2 x (3 x 5) = 2 x 15 = 30. Segunda forma, se multiplica primero 3 x 5.
(2 x 5) x 3 = 10 x 3 = 30. Tercera forma, se multiplica primero 2 x 5.

La propiedad disociativa es lo contrario de la propiedad asociativa, es decir, des agrupa los números a multiplicar. Esta propiedad nos dice:

Propiedad disociativa

"La multiplicación de varios números naturales, no se altera, cuando se reemplaza uno de ellos por el producto de dos o más números que multiplicados, den como resultado el número reemplazado"

Simbólicamente

Sí, a, b, c, m y n ∈ y a = b x c ⇒ m x a x n = m x (b x c) x n.

Para este caso, el uso de los paréntesis, se da para indicar qué números al multiplicarse reemplazarán al número que se quiere reemplazar.

Ejemplo 2.

Se dan tres números 2, 5 y 12. Hallé tres formas para multiplicar estos números usando la propiedad disociativa, pero reemplazando el 12 con dos factores o más.

Tal como nos indica, debemos, remplazar el 12 por otros dos números o más que al multiplicarlos, nos dan 12. Asumiendo que multiplicamos los números en el siguiente orden 2 x 5 x 12. Entonces obtendremos las siguientes tres formas:

2 x 5 x (4 x 3) = 120. Primera forma.
2 x 5 x (6 x 2) = 120. Segunda forma.
2 x 5 x (2 x 3 x 2) = 120. Tercera forma.

Las propiedades uniformes de la multiplicación son dos, y tienen que ver con las relaciones de igualdad con números naturales. La primera propiedad es el siguiente:

Primera propiedad uniforme de la multiplicación.

"Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica el mismo número, la igualdad se mantiene"

Simbólicamente

Sí, a, b y c ∈ , a = b, ⇒ a x c = b x c.

Esta propiedad indica, que si multiplicamos un número cualquiera a una igualdad, entonces la igualdad se mantiene, aunque los números aumenten. Es decir, teniendo esta igualdad 3 = 3, y si multiplicamos el 2 a ambos miembros, entonces la igualdad se mantiene, obteniendo otra igualdad, que sería 3 x 2 = 3 x 2, es decir, 6 = 6 sería la nueva igualdad. Dicho de otro modo, si multiplicamos los miembros de una igualdad, con un mismo número natural, esta igualdad se mantiene, aunque las cantidades que se comparan hayan cambiado.

Ejemplo 1.

Luis compra igual cantidad de canicas que César; a los dos amigos, les regalan el doble de las canicas que tenían. ¿Cuántas canicas tendrán los dos amigos, si César tenía 5 canicas?

Las canicas de Luis y César, determinan la igualdad 5 = 5. Debido a que, les regalaron el doble. Multiplicamos por 2 la igualdad y tendremos: 2 x 5 = 2 x 5. Esto nos dice que les regalaron 10 canicas de más. Sumamos 10 a las 5 canicas que tenían, con lo que los dos amigos tienen 15 canicas cada uno.

Esta propiedad también nos da a entender que si multiplicamos un número cualquiera a uno de los miembros de una igualdad, y si queremos que la igualdad se mantengan, entonces debemos multiplicar el mismo número, al otro miembro de la igualdad.

Ejemplo 2.

César tenía en una balanza 3 kg de carne de res, luego añadió la misma cantidad 8 veces a la balanza, pero el cliente solo quería 15 kg de carne de res. ¿Cuántas veces debió César añadir a la balanza los 3 kg de carne de res para tener 15 kg?

Es importante diferenciar entre lo que estaba en la balanza y el hecho de repetir o colocar 8 veces 3 kg de carne de res, sobre lo que ya estaba en la balanza. Podemos establecer una igualdad entre lo que ya tenía en la balanza, más la cantidad de veces que se necesita añadir los 3 kg de carne de res, para obtener los 15 kg de res que desea el cliente. Del siguiente modo: 3 + 3x = 15.
En donde la letra "x" es la cantidad de veces que se necesita añadir 3 kg a la balanza. Aquí se puede observar que 3x, debe ser 12, ya que de ese modo se puede cumplir la igualdad. Con esto podemos establecer otra igualdad, del siguiente modo: 3x = 12.
Esta igualdad nos dice que debemos hallar un número que, multiplicado con 3, nos dé 12, obviamente ese número es 4. Entonces, César debió añadir 4 veces 3 kg de res, para obtener los 15 kg.

La segunda propiedad uniforme de la multiplicación, hace uso de dos igualdades, y nos dice lo siguiente:

Segunda propiedad uniforme de la multiplicación.

"Cuando se multiplican miembro a miembro dos igualdades, se obtiene otra igualdad"

Sí, a, b, c y d ∈ , a = b y c = d ⇒ a x c = b x d.

Lo que nos da entender esta propiedad, es que, si tenemos las siguientes igualdades 3 = 3 y 2 = 2, y multiplicamos miembro a miembro las igualdades, obtendremos otra igualdad, que es 3 x 2 = 3 x 2, resolviendo tendremos 6 = 6.

Ejemplo 3.

De dos autobuses, el primer autobús lleva 15 pasajeros, el segundo lleva la misma cantidad que el primero. En el siguiente paradero, ambos recogen el doble de pasajeros. ¿Cuántos pasajeros lleva cada autobús?

Podemos determinar una igualdad con la cantidad de pasajeros, entre el primer autobús y el segundo, 15 = 15. Nos mencionan que en el siguiente paradero recogen el doble, entonces podemos establecer otra igualdad: 2 = 2, multiplicamos ambos miembros de estas dos igualdades y obtenemos 30 = 30. Lo que nos dice es que cada autobús lleva 30 pasajeros.

Las propiedades de monotonía hacen uso de las desigualdades, a diferencia de las igualdades usadas en las propiedades de uniformidad. La primera propiedad nos dice.

Primera propiedad de monotonía

"Si a ambos miembros de una desigualdad se le multiplica el mismo número, la desigualdad permanece"

Para expresar simbólicamente esta propiedad, se tienen que contemplar las desigualdades estrictas y amplias. Además, las letras a, b y c son números naturales, con lo que tenemos.

En donde a, b y c ∈

Esto nos dice que si tenemos una desigualdad cualquiera, al duplicar, triplicar o multiplicar cada miembro por un mismo número natural, entonces la desigualdad se mantiene. Es decir, de la siguiente desigualdad 5 > 2, al multiplicar cada miembro con 4, entonces tendremos la siguiente desigualdad 5 x 4 > 2 x 4.

Ejemplo 1.

Se tiene 1 kilo de arroz y 3 kilos de cebollas. Si después se decide, comprar 3 veces lo que se compró de cada producto. ¿Se compró la misma cantidad de arroz y cebollas?

La respuesta es No, ya que se compró menos cantidad de arroz que cebollas, es decir, tenemos una desigualdad de 1 < 3. Si después se decide comprar 3 veces lo que se compró, entonces se compraron 3 kilos de arroz y 9 kilos de cebollas. Manteniendo, de ese modo, la desigualdad entre los kilos de arroz y cebollas.

La segunda propiedad de monotonía de la multiplicación nos dice.

Segunda propiedad de monotonía.

"Cuando se multiplican miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene la misma desigualdad del mismo sentido"

Para expresar esta propiedad simbólicamente, debemos contemplar las desigualdades estrictas y amplias, con lo que tendremos.

En donde a, b, c y d ∈

La segunda propiedad de la monotonía, nos da a entender que si se duplican, triplican o multiplican, miembro a miembro, dos desigualdades, se creará o formará otra desigualdad del mismo sentido. Es decir, si tenemos las dos siguientes desigualdades 4 > 3 y 2 > 1, entonces, al multiplicarlas miembro a miembro, tendremos 4 x 2 > 3 x 1, y esto nos creará la siguiente desigualdad del mismo sentido, 8 > 3.

Ejemplo 2.

De cuatro bolsas de arena. La primera bolsa pesa menos que la segunda, que pesa 5 kilos. Se decide llenar las dos bolsas de arena del siguiente modo: llenar el doble de kilos de arena de la primera bolsa con la tercera bolsa y 4 veces de kilos de arena de la segunda bolsa con la cuarta. ¿Cuántos kilos como máximo puede tener la tercera bolsa si los pesos están en números naturales? ¿Cuántos kilos pesa la cuarta bolsa?

Primero debemos determinar una desigualdad entre la primera y segunda bolsa, aquí la desigualdad podría ser 1 < 5, 2 < 5, 3 < 5, y 4 < 5, pero como nos piden el máximo en kilos para la tercera bolsa, entonces el máximo en kilos de la primera bolsa es de 4, con lo que la primera desigualdad es 4 < 5. Nos dicen que la tercera bolsa es el doble que la primera, y la cuarta es 4 veces la segunda, entonces la siguiente desigualdad es 2 < 4. Multiplicamos ambos miembros de la desigualdad y obtenemos 8 < 20. Esto nos dice, que la tercera bolsa, solo puede llevar como máximo 8 kilos de arena y la cuarta bolsa, lleva 20 kilos.

De la segunda propiedad de monotonía, si las desigualdades son una estricta y la otra amplia, se puede deducir la siguiente propiedad.

Propiedad 1.

"Cuando se multiplica miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, siendo una estricta y la otra amplia, se obtiene una desigualdad estricta del mismo sentido"

Simbólicamente es tal como se muestra en la siguiente tabla.

En donde a, b, c y d ∈

Las propiedades distributivas permiten conectar las operaciones de suma y resta con la multiplicación. Veremos el primero de ellos con respecto a la suma con números naturales.

Propiedad distributiva con respecto a la suma.

"Un número cualquiera multiplicado por la suma de varios números, es igual a la suma de la multiplicación de cada sumando por el número cualquiera."

Simbólicamente.

Si k ∈ , y a, b, c, ..., d ∈ ⇒ k(a + b + c + ... + d ) = ak + bk + ck + ... + dk.

Para expresar simbólicamente esta propiedad, hacemos uso de una nueva nomenclatura de la multiplicación. Esto se usa cuando usamos letras para representar números. Podemos indicar una multiplicación cuando usamos letras, simplemente colocándolas juntas, como es el caso de ak, bk, ck, que nos dice que se multiplica la letra a con la letra k, la letra b con la letra k y así sucesivamente.

Además, se hace uso del paréntesis para indicar un grupo de sumandos o la suma de una secuencia de números (a + b + c + ... + d), en donde la letra a es el primer sumando y la letra d es el último sumando del grupo, y la letra k junto al grupo, nos indica que este se multiplica con ese grupo de sumandos.

Esta propiedad nos dice que si multiplicamos un número cualquiera, a la suma de varios números, el resultado que se obtiene, será el mismo, si multiplicamos el número cualquiera, con cada uno de los números antes de sumarlos. Es decir, tenemos la siguiente suma 1 + 3 + 4, al resultado le multiplicamos por 2, entonces tenemos 2(1 + 3 + 4) = 2 x 8 = 16, pero si ahora, multiplicamos cada número de la suma con 2 antes de sumarlo tendremos 1 x 2 = 2, 3 x 2 = 6, 4 x 2 = 8, y luego sumamos los resultados obtenidos tenemos 2 + 6 + 8 = 16, que es el mismo resultado.

Ejemplo 1.

En una empresa hay tres empleados: el primero hizo 6 horas de trabajo, el segundo 8 horas de trabajo y el tercero 7 horas de trabajo. ¿Cuántas horas trabajaron los tres empleados?

Para resolver este problema tenemos dos maneras de hacerlo. Sumamos las horas trabajadas por los empleados y luego multiplicamos por tres para hallar el total de horas trabajadas.
Total de horas trabajadas = 3(6 + 8 + 7) = 3(21) = 3 x 21 = 63

La segunda manera es multiplicar cada hora trabajada de cada empleado por 3, y luego sumar los resultados.
Total de horas trabajadas = (3 x 6) + (3 x 8) + (3 x 7) = 18 + 24 + 21 = 63

La segunda manera es menos intuitiva, pero cumple con la propiedad distributiva, y tal como se puede observar, se obtiene el mismo resultado.

La propiedad distributiva, con respecto a la resta con números naturales, está restringida solo al minuendo y sustraendo. Debido a que la resta con números naturales, no está pensando para usarse con una secuencia de números. Esta propiedad nos dice.

Propiedad distributiva con respecto a la resta.

"Un número cualquiera multiplicado por la resta de dos números, es igual a la resta de la multiplicación del minuendo y sustraendo por el número cualquiera"

Simbólicamente

Sí, k, m y s ∈ , ⇒ k(m - s) = mk - sk.

En donde "m" es el minuendo y "s" es el sustraendo.

Esta propiedad nos da a entender, que si restamos dos números para luego multiplicarlo por otro, nos dará el mismo resultado si antes multiplicamos los números que restamos, para después restarlos. Por ejemplo, si restamos 10 - 4, nos da 6, luego multiplicamos el resultado con 3, tendremos 18. Ahora, si multiplicamos antes de restar 10 y 4 con el 3, tendremos 10 x 3 = 30 y 4 x 3 = 12, luego restamos estos resultados, 30 - 12 y obtenemos 18.

Ejemplo 2.

Una tienda tenía 10 zapatos y vendió 6 en un día, si cada zapato se vende a 100 soles. ¿Cuánto en soles le falta por vender?

Aquí también se puede resolver este problema de dos maneras. Restamos los zapatos que tenía con los que vendió, y luego multiplicamos por 100, con los zapatos que quedaron.
Falta por vender = 100(10 -6) = 100(4) = 100 x 4 = 400 soles.

La segunda manera es multiplicar por 100 soles la cantidad de zapatos que tenía y la cantidad de zapatos que vendió; luego se restan los montos obtenidos.
Falta por vender = (100 x 10) - (100 x 6) = 1 000 - 600 = 400 soles.