Es una operación que consiste en quitar una cantidad de otra para obtener una nueva cantidad, al resultado se denomina resta o diferencia.

El signo de la resta es el signo menos -, colocando este entre dos números del siguiente modo: a - b = c, en donde la letra a es el minuendo y la letra b el sustraendo. Si el minuendo es menor que el sustraendo, entonces decimos que la resta no es posible con números naturales, lo que nos dice que en toda resta con números naturales el minuendo siempre debe ser mayor que el sustraendo, es decir, simbólicamente tendremos.

Si a - b = c, ⇒ a > b, en donde a, b y c ∈

Esta operación es también la inversa de la suma. Esto significa, que al sumar la diferencia o resta con el sustraendo, se obtiene como resultado el minuendo. Por ejemplo, si restamos 8 - 2, esto nos da como resultado 6, y si sumamos esa diferencia con el 2, 6 +2, obtenemos 8. Simbólicamente tendremos.

Si a - b = c, ⇒ c + b = a, ↔ b > a, en donde a, b y c ∈

El símbolo ↔ define una doble implicación (bi condicional), es decir, significa literalmente “siempre y cuando” o “si y solo sí”, lo anterior se pudo escribir del siguiente modo: “Si a - b = c, ⇒ c + b = a, siempre y cuando b > a, en donde a, b y c ∈ ”.

Hay que tener presente que la resta con números naturales, generalmente se da con dos números y no con una secuencia de números, como sucede en la suma de números naturales. Aunque podemos representar la resta de los números 14, 3 y 2, del siguiente modo: 14 - 3 - 2, obteniendo con esta secuencia un 9, haciendo las operaciones de izquierda a derecha. Si usamos otra secuencia de números naturales, esto no necesariamente nos dará como resultado un número natural, como por ejemplo, 4 - 3 - 2. Es por eso que la resta, con números naturales, es para dos números, el mayor menos el menor.

Si se tiene una, secuencia de números naturales que se pueden restar, como en el caso anterior, esto se operan de izquierda a derecha. Por ejemplo, restar la siguiente secuencia de números 15, 5 y 2, Podemos representar esto del siguiente modo: 15 - 5 - 2, y operamos de izquierda a derecha de dos en dos. Tal como se muestra a continuación.

15 - 5 - 2
10 - 2
8

Primero restamos 15 menos 5, obteniendo 10, para luego ese resultado restarlo con el 2, y así se obtiene 8, como resultado final, de restar la secuencia 15 - 5 - 2 = 8.

Ejemplo 1.

Jorge lleva a un paseo 10 manzanas, pero en el camino se le caen 6 manzanas. ¿Con cuantas manzanas llego a su destino?

En este problema 10 es el minuendo y representa la cantidad de manzanas, que tiene jorge antes de llegar a su destino, y 6 es el sustraendo y representa la cantidad de manzanas que perdió en el camino. De ese modo podemos dar una respuesta y el resultado es 10 - 6 = 4, que nos dice que Juan llego a su destino con 4 manzanas.

En cualquier situación o problema que queramos resolver, el minuendo siempre debe representar la cantidad mayor que se tiene, y el sustraendo siempre debe representar la cantidad que se le debe quitar, sustraer o disminuir al minuendo.

Ejemplo 2.

Un ave coloca 5 huevos en su nido, y una serpiente le roba 2 huevos. ¿Cuantos huevos quedan en el nido?

En este ejemplo 5 representa el minuendo, ya que es la cantidad de huevos que hay en el nido, o dicho de otro modo la cantidad de huevos que tiene el ave, y 2 representa el sustraendo, ya que es la cantidad de huevos que roba, o le quita la serpiente al ave. Con lo cual operamos: 5 - 2 = 3, que nos dice que quedan 3 huevos en el nido.

A diferencia de la suma con números naturales, la resta no tiene un axioma de clausura, esto es, debido, a que si restamos un número menor con un número mayor, no obtendremos un número natural.

También se considera a la resta con números naturales, anti conmutativa, ya que el orden en que se operan si altera el resultado, es decir, si restamos 5 - 4, obtenemos 1, pero si restamos 4 - 5, obtenemos otro resultado que no pertenece a los números naturales.

La resta con números naturales, tampoco es asociativa, esto se debe a que la resta de dos números naturales, está pensando para usarse con dos números naturales, y si tenemos más de dos números naturales, o mejor dicho, una secuencia de números naturales a restar, entonces no obtendremos el mismo resultado, sí se restan un grupo de números y después otro, como se menciona en la propiedad asociativa de la suma.

Veamos un ejemplo para entender, el porqué la resta con números naturales no es asociativa, para ello, tomemos la siguiente secuencia de números a restar 8, 3 y 2. Con lo que obtendremos, la siguiente operación de resta: 8 - 3 - 2. Si agrupamos con paréntesis el 8 y el 3 para restarlo primero y después restarlo con el 2, tendríamos las siguientes operaciones.

8 - 3 - 2
(8 - 3) - 2
5 - 2
1

Aquí podemos observar, que restamos primero lo que está entre paréntesis, es decir, 8 - 3 = 5, y siguiendo las operaciones obtenemos como resultado 1.

Ahora, agrupemos con paréntesis los números 3 y 2, de la misma secuencia, en donde al realizar las operaciones, tendremos lo siguiente.

8 - 3 - 2
8 - (3 - 2)
8 - 1
7

Tal como se puede observar, los resultados son distintos. Al restar primero 8 con 3, se llega a obtener un resultado distinto que cuando se resta primero el 3 con el 2. Es decir, (8 - 3) - 2 ≠ 8 - (3 - 2).

Debido a que la resta con números naturales no es asociativa, tampoco es disociativa. No obstante, la resta con números naturales, tiene un elemento neutro, y el axioma del elemento neutro de la resta nos dice.

Axioma elemento neutro.

Existe solo un número natural, el 0, al que se le llama elemento neutro, que al restarlo de otro número natural se obtiene el mismo número natural. Sólo si el numero natural es el minuendo y el cero el sustraendo.

Simbólicamente tendremos.

Si a ∈ ⇒ a - 0 = a

Los axiomas de uniformidad en la resta con números naturales, se dan siempre y cuando, tengamos presente que se pueden restar los números naturales, involucrados en estos axiomas.

Al igual que en la suma, los axiomas de uniformidad son dos, y también tienen que ver con las relaciones de igualdad con números naturales. El primer axioma es el siguiente.

Primer axioma uniforme de la resta.

"Si a ambos miembros de una igualdad se le resta el mismo número, la igualdad se mantiene. Siempre y cuando este número sea menor a los miembros de la igualdad."

Simbólicamente:

Si a, b y c ∈ , a = b, ⇒ a - c = b - c, ↔ a > c y b > c

Este axioma, nos dice, que si tenemos la siguiente igualdad 8 = 8, entonces, podemos restarle un número cualquiera menor a 8 a cada miembro de la igualdad, por decir, tomemos el 5, entonces la igualdad se mantiene y quedaría disminuido en 5 del siguiente modo 8 - 5 = 8 - 5, obteniendo una nueva igualdad, que sería 3 = 3. Pero, si restamos números diferentes a cada miembro de una igualdad, entonces la igualdad no se mantiene.

No obstante, se debe entender que si restamos un número mayor a los miembros de la igualdad, esta desigualdad se mantiene, aunque el resultado de esa resta no será, un número natural. Es decir, si tenemos la siguiente igualdad 5 = 5, y le restamos el 10 a cada miembro de la igualdad, entonces tendremos la siguiente igualdad, 5 - 10 = 5 - 10, pero, se debe tener presente que al restar 5 - 10, no da como resultado un número natural.

Ejemplo 1.

Un autobús lleva 20 pasajeros, otro autobús lleva la misma cantidad de pasajeros. En el siguiente paradero, del primer autobús bajan 5 pasajeros y del segundo bajan 3 pasajeros. ¿Ambos autobuses llegarán con la misma cantidad de pasajeros al siguiente paradero?

Podemos determinar una igualdad entre la cantidad de pasajeros del primer autobús con el segundo. Es decir, 20 = 20, pero como del primer autobús bajan 5 pasajeros y del segundo bajan 3, entonces los miembros de la desigualdad no se decrementa con un mismo número, sino que, por el contrario, son cantidades distintas y tendremos 20 - 5 ≠ 20 - 3. Con esto ya podemos demostrar, que ambos autobuses no llegan con la misma cantidad de pasajeros al siguiente paradero.

El segundo axioma uniforme de la resta, tiene en cuenta el uso de dos igualdades, y se debe tomar en cuenta que ambas igualdades se puedan restar dentro de los números naturales, y nos dice lo siguiente:

Segundo axioma uniforme de la resta.

"Cuando se restan miembro a miembro dos igualdades, se obtiene otra igualdad, siempre y cuando los miembros de la primera igualdad sean mayores que los miembros de la segunda igualdad."

Simbólicamente:

Si a, b, c y d ∈ , a = b y c = d, ⇒ a - c = b - d, ↔ a > c y b > d

Esto nos dice que si tenemos una igualdad, y le restamos otra igualdad, de tal modo que los miembros de la segunda igualdad sean menores, entonces la igualdad se mantiene. Por ejemplo, si tenemos las siguientes igualdades, 8 = 8 y 7 = 7, y las restamos miembro a miembro, 8 - 7 = 8 - 7, la igualdad se mantiene, ya que 8 > 7, y obtenemos otra igualdad 1 = 1.

Del mismo modo que sucedía con el primer axioma uniforme de la resta, si restamos a una igualdad otra igualdad, en donde los miembros de la segundad igualdad, sean mayores que la primera igualdad, entonces la igualdad se mantiene, pero al restar los miembros, se obtendría una igualdad con miembros que no serán números naturales. Es decir, teniendo las siguientes igualdades 7 = 7 y 10 = 10, si restamos miembro a miembro las igualdades, entonces tendremos la siguiente igualdad, 7 - 10 = 7 -10, aunque los miembros al restarlos no serán números naturales.

Ejemplo 2.

Se tienen 4 buques, los dos primeros llevan 12 325 contenedores cada uno, el cuarto buque puede llevar 10 135 contenedores. Si la cantidad de contenedores, que puede llevar el primer buque, menos lo que puede llevar el tercer buque, es igual, a lo que puede llevar el segundo buque, menos lo que puede llevar el cuarto buque. ¿Cuántos contenedores puede llevar el tercer buque?

Aquí podemos determinar una igualdad entre el primer buque y el segundo buque, 12 325 = 12 325. Además, nos mencionan, que los 12 325 contenedores del primer buque, menos lo que puede llevar el tercer buque, son iguales a los 12 325 contenedores del segundo buque, menos los 10 135 contenedores del cuarto buque. Esto, nos dice que para que se cumpla esa igualdad, entonces el tercer buque puede llevar la misma cantidad de contenedores que el cuarto buque. Entonces, esto nos dice, que el cuarto buque puede llevar 10 135 contenedores.

Los axiomas de monotonía en la resta con números naturales, al igual que los axiomas de uniformidad, se cumplen siempre y cuando se puedan restar los números naturales, involucrados en estos axiomas.

Recordemos que el primer axioma de monotonía de la suma nos dice: "Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma el mismo número, la desigualdad permanece", en el caso de la resta con números naturales, el axioma cambiará la operación de suma por el de la resta, pero, teniendo en cuenta que no podemos restar un número mayor a uno de los miembros de la desigualdad, con lo cual tendremos dos axiomas, uno cuando el número que se resta es menor y el otro cuando el número que se resta es mayor.

Primer axioma de monotonía de la resta.

"Cuando se resta un número a cada miembro de una desigualdad y si este número es menor que los miembros de la desigualdad, entonces la desigualdad se mantiene."

Para expresar simbólicamente este axioma, se toma en cuenta las desigualdades estrictas y amplias. A continuación una tabla con las desigualdades, y la expresión simbólica del mismo con respecto a esta propiedad.

En donde a, b y c ∈

Otra forma de expresar este axioma, es indicando que el número que resta a los miembros de la desigualdad es el sustraendo, entonces el axioma quedaría así: "Cuando se resta un número a cada miembro de una desigualdad y si este número es el sustraendo, entonces la desigualdad se mantiene."

Este primer axioma nos dice, que si tenemos la siguiente desigualdad 8 < 9, y le restamos el 5, que es menor que 8 y 9, entonces la desigualdad se decrementa en 5 unidades, manteniendo la misma desigualdad del mismo sentido, pero obteniendo una nueva que será 3 < 4.

Ejemplo 1.

Un autobús con 20 pasajeros, tiene más pasajeros que un segundo autobús, llegando al paradero, del primer y segundo autobús, bajan 5 pasajeros de cada uno. ¿El segundo autobús seguirá teniendo menos pasajeros?

Asumiendo que la letra b es el segundo autobús, entonces 20 > b. Debido a que bajan 5 pasajeros, entonces, tenemos la siguiente desigualdad 20 - 5 > b - 5, y asiendo uso del primer axioma de monotonía, debemos verificar que la cantidad de pasajeros que bajan de los autobuses sea menor a la cantidad de pasajeros que hay en los autobuses, con el primer autobús es evidente que la cantidad de pasajeros que bajan, es menor que la cantidad de pasajeros que tenía. Para el segundo autobús, si los pasajeros del primer autobús son más que el segundo y los pasajeros del primer autobús son más de los que bajaron, entonces los pasajeros del segundo son más de los que bajaron. Es decir, si 20 > b y 20 > 5, entonces b > 5, con esto podemos darnos cuenta, que del segundo autobús bajan una menor cantidad de pasajeros.

Debido a que se cumplen todas las condiciones, entonces el segundo autobús sigue teniendo menos pasajeros.

El segundo axioma de la resta se da cuando, los miembros de la desigualdad, restan a un número mayor que ellos, es decir, los miembros de la desigualdad, son menores que el número que restará la desigualdad. Este axioma nos dice.

Segundo axioma de monotonía de la resta.

"Cuando cada miembro de una desigualdad resta a un número respectivamente, siendo este mayor que los miembros de la desigualdad, entonces la desigualdad cambia de sentido."

En este caso la desigualdad "no es igual que", no puede cambiar de sentido, ya que no lo tiene, entonces esta desigualdad se mantiene sin cambios, a continuación se expresa simbólicamente este axioma, solo con las desigualdades estrictas y amplias.

En donde a, b y c ∈

Este axioma se puede expresar indicando que el número a restar en la desigualdad es el minuendo, es decir, el axioma se puede reescribir de la siguiente manera: "Cuando se resta un número a cada miembro de una desigualdad con sentido y si este número es el minuendo, la desigualdad cambia de sentido."

El segundo axioma, nos da a entender que teniendo la siguiente desigualdad 2 < 9, y un número mayor a dichos miembros, digamos el 10, podemos obtener la siguiente desigualdad con sentido contrario 10 - 2 > 10 - 9, en donde el 10 es restado por cada miembro de la desigualdad.

Ejemplo 2.

Dos autobuses con la misma cantidad de pasajeros, llegan a un paradero, del primero bajan 3 pasajeros y del segundo bajan una cantidad menor a 10 pasajeros y mayor a 4 pasajeros. Si se sabe que los dos autobuses, llevaban 30 pasajeros. ¿El segundo autobús llevará más pasajeros que el primero?

Asumiendo que la letra b es la cantidad de pasajeros que bajan del segundo autobús, entonces b > 4 y b < 10, con esto tenemos que la cantidad de pasajeros que bajan del primer autobús es menor que el segundo, 3 < b, y como ambos tienen la misma cantidad de pasajeros, entonces tenemos la siguiente desigualdad 30 - 3 < 30 - b. Ahora, debemos verificar que la cantidad de pasajeros que bajan de los autobuses sea menor a 30, para el primero es evidente que lo es, en el caso del segundo, como b < 10 entonces b es menor que 30.

Debido a que se cumplen todas las condiciones del axioma de monotonía, entonces el segundo autobús no llevará más pasajeros que el primero.

El tercer axioma de monotonía de la resta tiene que ver con dos desigualdades con sentidos contrarios, estas desigualdades tienen que cumplir, que los miembros de la primera desigualdad sean mayores que los de la segunda. A continuación el axioma.

Tercer axioma de monotonía de la resta.

"Cuando se restan miembro a miembro dos desigualdades con sentidos contrarios, siendo los miembros de la primera desigualdad mayores que la segunda, entonces se obtiene una desigualdad del mismo sentido que la primera desigualdad."

Obviamente, aquí no se toma en cuenta la desigualdad "no es igual que", entonces simbólicamente este tercer axioma será.

En donde a, b, c y d ∈

Ejemplo 3.

Un autobús tiene 8 pasajeros, y un segundo autobús tiene 5 pasajeros, del segundo bajan 4 pasajeros y del primero bajan una cantidad menor de pasajeros que el segundo. ¿El primer autobús seguirá teniendo más pasajeros que el segundo?

Asumiendo que la letra b, es la cantidad de pasajeros que bajan del primer autobús, entonces tendremos las siguientes desigualdades, 8 > 5, y b < 4. Si restamos miembro a miembro tendremos, la siguiente desigualdad. 8 - b > 5 - 4. Hasta aquí nos dice, que el primer autobús sigue teniendo más pasajeros que el segundo, debemos verificar si b es realmente menor que 8, y esto es evidente, ya que b es menor que 4. Entonces, el primer autobús sí seguirá teniendo más pasajeros.

Estos axiomas toman en cuenta al minuendo, sustraendo y diferencia de una resta, recordemos que siempre el minuendo debe ser mayor que el sustraendo para que la resta exista o se pueda realizar con números naturales. Veamos el primero de ellos.

Axioma 1.

"Si se aumenta o disminuye un número natural menor cualquiera al minuendo, entonces la diferencia aumenta o disminuye respectivamente."

Siendo la letra m el minuendo, la letra s el sustraendo, la letra d la diferencia, y la letra k cualquier número natural, simbólicamente tenemos:

(m + k) - s = d + k
(m - k) - s = d - k ↔ d > k

Esto nos dice, que si tenemos la siguiente resta 8 - 5 = 3, entonces la igualdad se mantendrá si aumentamos el 8 y el 3, con cualquier número natural. Probemos, con aumentar el minuendo y sustraendo con el 5. Entonces, tendremos (8 + 5) - 5 = 3 + 5. Resolviendo, llegamos a la siguiente igualdad 8 = 8. Lo mismo, sucederá si decrementamos con cualquier número natural, pero siempre se debe tener presente el paréntesis, operando primero lo que se encuentra entre paréntesis.

Otro modo de interpretarlo, es decir que, si aumentamos o disminuimos el minuendo, entonces debemos aumentar y disminuir la diferencia, para que la igualdad se mantenga.

Ejemplo 1

Un camión llevaba 10 458 kg de arena, después de descargar una parte de lo que llevaba, se queda con 3 897 kg. Si se hubiese cargado con 1 000 kg de más ¿Con cuánto de arena se hubiese quedado?

La cantidad de arena que llevaba el camión es el minuendo, es decir, 10 458, después de descargar una parte se queda con 3 897, este sería la diferencia. Usando el axioma 1, antes mencionado, nos da a entender, que si la cantidad de arena que llevaba el camión aumento, entonces la diferencia o la cantidad de arena que le quedo aumento la misma cantidad. Lo único que debemos hacer es sumarle a la diferencia los 1 000 kg. Con lo que el camión se hubiese quedado con 3 897 + 1 000 = 4 897.

El siguiente axioma se diferencia con el anterior, en el hecho de que en este axioma se aumenta o disminuye el sustraendo.

Axioma 2.

"Si se aumenta o disminuye un número natural menor cualquiera al sustraendo, entonces la diferencia disminuye cuando se aumenta el sustraendo y aumenta cuando se disminuye el sustraendo."

Siendo la letra m el minuendo, la letra s el sustraendo, la letra d la diferencia, y la letra k cualquier número natural, simbólicamente tenemos:

m - (s + k) = d - k ↔ d > k
m - (s - k) = d + k ↔ s > k

De un modo u otro, este axioma nos dice que si aumentamos el sustraendo entonces la diferencia se disminuye, pero si disminuimos el sustraendo entonces la diferencia aumenta. Por ejemplo, al número 10, le restamos 4, la diferencia entre 10 y 4, es de 6; ahora, si aumentamos el 4 en 3 unidades más, entonces según este axioma la diferencia se disminuye 3 unidades, es decir, a 6 le restamos el 3 que aumentamos al 4.

Ejemplo 2

Una persona pagó una deuda y se quedó con S/. 1 893 soles. Después de unos días, la persona se da cuenta de que le falto pagar S/ 10 soles. ¿Con cuánto dinero se quedó?

Evidentemente, este problema es sencillo de solucionar, simplemente le restamos a S/ 1 893 soles los S/ 10 soles que pago de más, y la respuesta es que se quedó con S/ 1 883 soles. Esta operación es posible, ya que si la deuda aumenta, entonces lo que queda disminuye, es decir, la deuda que no se conoce es el sustraendo al aumentar, entonces la diferencia debe disminuir.

En este último axioma, lo que se aumenta o disminuye son el minuendo y el sustreando, sin que la diferencia se altere.

Axioma 3.

"Si se aumenta o disminuye un número natural menor cualquiera al sustraendo y al minuendo, entonces la diferencia no cambia."

Siendo la letra m el minuendo, la letra s el sustraendo, la letra d la diferencia, y la letra k cualquier número natural, simbólicamente tenemos:

(m + k) - (s + k) = d ↔ s > k
(m - k) - (s - k) = d ↔ s > k

El axioma nos explica que se si se aumenta el minuendo y el sustraendo entonces la diferencia no cambia o no se altera, y en caso contrario si se disminuye el minuendo y el sustraendo, entonces la diferencia tampoco cambia.

Ejemplo 3

Para construir un muro se compró 300 kg de cemento, sobrando 15 kg. Para un segundo muro se compró 8 kg, más de los 300 kg de cemento que se compró para el primer muro, pero al construir el segundo muró, se usó 8 kg más de cemento de lo que se usó para el primero. ¿Cuánto cemento quedó sin usar en el segundo muro?

Para el primer muro el minuendo es 300, no nos dicen cuanto cemento se usó, con lo que el sustraendo lo representamos con la letra s, y obviamente la diferencia será 15. Es decir, tenemos lo siguiente: 300 - s = 15
Para el segundo muro, nos dicen que se compró 8 kg de más, es decir al minuendo se le aumentó en 8, pero también nos menciona que se usó 8 kg de cemento más de lo que se usó con el primer muro, entonces al sustraendo le aumentamos 8. Con lo que, tendremos lo siguiente: (300 + 8) - (s + 8).
Y de acuerdo al tercer axioma, si aumentamos el minuendo y el sustraendo una misma cantidad, entonces la diferencia no cambia.
Por lo tanto, quedan sin usar 15 kg de cemento en el segundo muro.