Para expresar simbólicamente los siguientes axiomas, usaremos las letras a, b y c, que representaran tres números naturales diferentes. También usaremos el símbolo ⇒, que como se explicó anteriormente, significa literalmente la palabra entonces.

El primer axioma que estudiaremos a continuación, es el de la clausura. Este se axioma se expresa de la siguiente manera:

Axioma clausura.

"Cuando se suman números naturales el resultado es siempre otro número natural."

Este axioma nos dice que si sumamos cualquier número natural, el resultado siempre será otro número natural. A este axioma también se le conoce como propiedad de cerradura.

El axioma de clausura se puede expresar simbólicamente, para ello se usan las letras a y b, que representarán dos números naturales o el resultado de la suma de otros números naturales.

Si a y b ∈ ⇒ a + b ∈

Ahora veremos algunos ejemplos, sobre el uso de este axioma

Ejemplo 1.

Juan compró 3 naranjas, 2 manzanas, y 1 papaya. ¿Cuántas frutas compro?

Sumamos la cantidad de frutas compradas 3 + 2 + 1, que nos da un total de 6 frutas, entonces, Juan compro 6 frutas

Este problema es posible solucionarlo usando números naturales, debido a que las cantidades son todos números naturales, y por ende el resultado de la suma de todas las frutas compradas por Juan, será un número natural.

Ejemplo 2.

Camila compra medio kilo de azúcar en una tienda, luego compra 2 kilos de azúcar en otra tienda ¿Cuántos kilos de azúcar compro?

En este caso podemos observar que nos mencionan sobre medio kilo de azúcar, esto nos dice, que no podemos expresar medio kilo con números naturales, para ello necesitamos de los números fraccionarios o reales. Entonces, podemos decir que este problema no tiene solución con números naturales, ya que la propiedad de clausura no se cumple, ya que si sumamos un número natural con otro número que no es natural, podríamos obtener como resultado un número que no es natural o un número natural.

Debido a que no se está estudiando sobre números reales o fraccionarios, este problema no tiene solución por el momento, usando solo los números naturales.

Sin embargo, si se cambia la pregunta a ¿Cuántos gramos de azúcar compro?, entonces este problema sí se puede solucionar usando números naturales, ya que medio kilo es 500 gramos, y 2 kilos son 2000 gramos. Con lo que en este caso podemos decir que Camila compró 2 500 gramos de azúcar.

El elemento neutro es el cero, llamamos elemento neutro al cero porque al sumarlo con cualquier número natural, el resultado será el mismo número natural, es decir, el cero no tiene efecto en la suma. El axioma que define el elemento neutro en la suma, es el siguiente:

Axioma elemento neutro.

"Existe sólo un numero natural el cero, que al sumar con otro número natural no altera el resultado de la suma."

Simbólicamente tendremos:

Si a ∈ ⇒ a + 0 = a

Otro axioma de la suma es el axioma conmutativo, que nos dice:

Axioma conmutativo.

"El orden en que se suman los números naturales, no altera su resultado"

Este axioma, nos dice que si sumamos cualquier número natural, cambiando la posición en que se suman, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo, si sumamos 5 + 3 + 2, obtenemos 10 y si cambiamos de posición el 5, colocándolo, digamos como el tercer sumando, es decir, 3 + 2 + 5 obtendríamos 10, que es el mismo resultado.

El axioma conmutativo se puede expresar simbólicamente de la siguiente manera:

Si a, b y c ∈ ⇒ a + b + c = c + a + b

Aquí debemos tener presente que las letras a, b y c, representan cualquier número natural o el resultado de otras sumas. Veamos los siguientes ejemplos sobre el axioma conmutativo.

Ejemplo 1.

Se tienen 3 números naturales, 25, 15 y 10. Encuentre tres formas diferentes de sumar estos números usando el axioma conmutativo.

Lo que tenemos que hacer es cambiar el orden en que se pueden sumar estos tres números, lo que nos da las siguientes tres formas diferentes de sumar estos números.

25 + 15 + 10 = 50 Primer forma.
15 + 10 + 25 = 50 Segunda forma.
10 + 25 + 15 = 50 Tercera forma.

Hay que tener presente que, existen más formas de sumar estos tres números cambiando el orden en que se operen o suman. Pero, solo nos piden tres formas.

Ejemplo 2.

Enrique compró 4 pelotas de color azul, 2 de color rojo, y 5 de color verde. Enrique cree que si suma primero las pelotas de color verde, con las pelotas de color rojo, más las de color azul, el resultado será mayor que cuando sume primero las pelotas de color azul, con las de color rojo, más las de color verde. Indique, si lo que cree Enrique es correcto.

De acuerdo a lo que se menciona, representaremos con letras las pelotas, con lo que tendremos lo siguiente: la letra a para las pelotas de color azul, la letra r para las pelotas de color rojo y la letra v para las de color verde. Haciendo uso de las letras, Enrique afirma lo siguiente:

v + r + a > a + r + v

Reemplazando, las letras con la cantidad de pelotas, tendremos:

5 + 2 + 4 > 4 + 2 + 5

Operamos las sumas de derecha a izquierda.

5 + 2 + 4 > 4 + 2 + 5
7 + 4 > 6 + 5
11>11

Tal como se puede observar 11 no es mayor que 11, son iguales, de esta manera, podemos afirmar que Enrique está equivocado. Además, podemos observar que a pesar de haber cambiado la posición de la cantidad de pelotas al sumar, no se altera el resultado de la suma, con lo que, el axioma conmutativo se cumple, para este caso. Es decir.

5 + 2 + 4 = 4 + 2 + 5

Ahora veremos el axioma asociativo de la suma, este axioma nos dice lo siguiente:

Axioma Asociativo.

"La suma de varios números naturales no varía sustituyendo algunos de esos números por su suma."

Esta propiedad, nos dice que si sumamos varios números naturales, podemos agruparlos de una manera y sumar cada grupo de manera independiente, para luego sumar todos los resultados de cada grupo. Si agrupamos después los mismos números de otro modo, sumando esos grupos obtendremos el mismo resultado. Es decir, no importa la manera en como se agrupan o crean esos grupos de números al sumar sus resultados, se obtendrá siempre el mismo resultado.

El axioma asociativo se escribe simbolicamente, de la siguiente manera:

Si a, b y c ∈ ⇒ a + b + c = (c + a ) + b

Como ya se mencionó, las letras a, b y c, son cualquier número natural. Aquí se puede observar que se está usando los paréntesis para indicar que las letras a y c, se agrupan para sumarlos primero y después sumarle la letra b.

La diferencia entre el axioma conmutativo y asociativo, está en que el primero cambia la posición o el orden en que se suman varios números, y el otro simplemente agrupa los números para sumarlos.

Ejemplo 1.

Se tienen 3 números naturales, 15, 14 y 13. Encuentre tres formas de sumar estos números, agrupando dos números, usando el axioma asociativo.

Lo que tenemos que hacer es formar un grupo de dos números para sumar estos tres números, dejando uno de ellos solo. Siempre se debe sumar los dos números agrupados primero. Lo que nos da las siguientes tres formas diferentes de sumar estos números.

(15 + 14) + 13 = 29 + 13 = 42. Primera forma, se debe sumar primero 15 + 14
15 + (14 + 13) = 15 + 27 = 42. Segunda forma, se debe sumar primero 14 + 13
(15 + 13) + 14 = 28 + 14 = 42. Tercera forma, se debe sumar primero 15 + 13

El axioma disociativo se puede decir que es lo contrario al axioma asociativo, en donde el axioma asociativo agrupa números, el disociativo los des agrupa. Este axioma nos dice:

Axioma disociativo.

"La suma de varios números naturales, no se altera, cuando se reemplaza uno de ellos por la suma de dos o más números que sumados, den como resultado el número reemplazado"

Símbolicamente se puede expresar del siguiente modo:

Si a, b, c, m y n ∈ y a = b + c ⇒ m + a + n = m + (b + c) + n

Aquí se puede observar que se usan los paréntesis para indicar que números al sumarse reemplazarán al número que se quiere reemplazar.

Ejemplo 2.

Se dan tres números 8, 5 y 6. Halle tres formas para sumar estos números usando el axioma disociativo reemplazando el 8.

Tal como nos indica, debemos, remplazar el 8 por otros números que sumados nos den 8. Asumiendo que sumamos los números en el siguiente orden 8 + 5 + 6. Entonces obtendremos las siguientes tres formas:

(4 + 4) + 5 + 6 = 19 Primera forma
(5 + 3) + 5 + 6 = 19 Segunda forma
(2 + 6) + 5 + 6 = 19 Tercera forma

Hay que tener presente, que existen más formas de sumar estos tres números, y eso dependerá de como se reemplace el 8 en dos sumandos. Las otras posibles formas se muestran a continuación.

(1 + 7) + 5 + 6 = 19
(3 + 5) + 5 + 6 = 19
(4 + 4) + 5 + 6 = 19
(6 + 2) + 5 + 6 = 19
(7 + 1) + 5 + 6 = 19

Los axiomas uniformes de la suma son dos, y tienen que ver con las relaciones de igualdad con números naturales, el primer axioma es el siguiente:

Primer axioma uniforme de la suma.

"Si a ambos miembros de una igualdad se le suma el mismo número, la igualdad permanece"

Simbólicamente:

Si a,b y c ∈ , a = b, ⇒ a + c = b + c

El primer axioma uniforme, nos dice que si a una igualdad le sumamos un número cualquiera, entonces la igualdad se mantiene, aunque los números aumenten. Es decir, si se tiene esta igualdad 5 = 5, y si le sumamos el 2 a ambos miembros, entonces la igualdad se mantiene, obteniendo otra igualdad. Esta otra igualdad sería 5 + 2 = 5 + 2, es decir, 7 = 7 sería la nueva igualdad. Dicho de otro modo, si sumamos o incrementamos los miembros de una igualdad, con un mismo número natural, esta igualdad se mantiene, aunque las cantidades que se comparan hayan cambiado.

Ejemplo 1.

Juan tiene la misma cantidad de propina que su hermano, su papá quiere darle 5 soles más a los dos hermanos, si su hermano tiene 10 soles ¿Cuánto de propina tendrá los dos hermanos?

Aquí establecemos una igualdad entre la propina de Juan y su hermano, es decir, si la letra j es Juan y la letra h es su hermano, tendremos j = h. como su padre le quiere dar 5 soles a los dos, entonces j + 5 = h + 5. Pero como nos indica que su hermano tiene 10 soles, entonces de acuerdo a la primera igualdad j = h, se determina que juan también tiene 10 soles, por consiguiente y de acuerdo a la segunda igualdad j + 5 = h + 5, ambos tendrá 15 soles.

Ejemplo 2.

Una persona encontró 5 diamantes, su compañero encontró también la misma cantidad. Más adelante la persona que encontró 5 diamantes encontró 3 más, después de eso ¿Ambos compañeros tendrán la misma cantidad de diamantes?

Aquí podemos determinar una igualdad entre la cantidad de diamantes de la persona con su compañero, antes de que la persona encontrará los 3 diamantes de más. Es decir, 5 = 5, pero como después la persona encontró 3 diamantes de más, la igualdad no se cumple 5 + 3 ≠ 5, ya que solo se suma 3 a uno de los miembros de la igualdad. Con esto, podemos demostrar que ambos compañeros no tienen la misma cantidad de diamantes.

Este axioma, tambien nos da a entender que si aumentamos uno de los miembros de una iguldad, y queremos mantener esa igualdad, entonces debemos aumentar en la misma cantidad el otro miembro de la igualdad.

Ejemplo 3.

María tiene en la balanza 2 kilos de arroz, el cliente quiere 5 kilos de arroz. ¿Cuánto arroz tiene que aumentar María para tener 5 kilos en la balanza?

Podemos establecer una igualdad que nos indique, que lo que tiene María en la balanza más los kilos que faltan sean igual a los kilos que solicita el cliente. Es decir, si lo que tiene María en la balanza es 2, y lo que falta para los 5 kilos lo representamos con la letra x, podemos establecer esta igualdad 2 + x = 5.
Esta igualdad nos indica que al primer miembro se le aumentó "x" kilos, ahora debemos averiguar cuantos kilos le debemos aumentar al segundo miembro de la igualdad para llegar a 5 kilos. Esto se puede hacer, restando a los 5 kilos los 2 kilos que ya estaban en la balanza, es decir que 5 kilos se puede representar como 5 = 2 + 3. Con lo que tendremos la siguiente igualdad 2 + x = 2 + 3. Esto nos dice que a los 2 kilos del primer miembro de la igualdad se le aumentó "x" kilos y que a los 2 kilos del segundo miembro se le aumentó 3 kilos, entonces para mantener la igualdad entre ambos miembros "x" tiene que ser 3 kilos, la misma cantidad en que se aumentó los dos kilos de la segunda igualdad para llegar a los 5 kilos que desea el cliente.

El segundo axioma uniforme de la suma, tiene en cuenta el uso de dos igualdades, y nos dice lo siguiente:

Segundo axioma uniforme de la suma.

"Cuando se suman miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad"

Simbólicamente:

Si a, b, c y d ∈ , a = b y c = d, ⇒ a + c = b + d

Esto nos dice que si tenemos las siguientes igualdades 5 = 5 y 6 = 6 y sumamos miembro a miembro estas igualdades, obtendremos otra igualdad, es decir, 5 + 6 = 5 + 6, resolviendo las sumas tendremos 11 = 11

Ejemplo 4.

De 4 cajas de chocolates, la caja A tiene 8 chocolates, y la caja B tiene la misma cantidad de chocolates que la caja A. Las cajas C y D, tienen la misma cantidad de chocolates. Si la caja D tiene dos chocolates menos que la caja A. ¿Al juntar los chocolates de la caja A con la Caja C, la cantidad de chocolates será igual al juntar los chocolates de la caja B y D?

Aquí podemos determinar una igualdad entre la caja A y B, 8 = 8, también se puede determinar otra igualdad entre la caja C y D. Teniendo en cuenta que la caja D tiene dos chocolates menos que la caja A, esto nos dice que la caja D tiene 6 chocolates, entonces la caja C y D al ser iguales determinan la siguiente igualdad 6 = 6. Debido a que tenemos dos igualdades, entonces podemos decir, que al juntar los chocolates de la caja A con los de la caja C, si serán iguales con todos los chocolates de las cajas B y D.

Ejemplo 5.

Se tienen 4 camiones para llevar agua. Los dos primeros camiones pueden llevar 18 996 litros cada uno, el cuarto camión, puede llevar 37 992 litros. Si la cantidad de litros, que puede llevar el primer camión, más lo que puede llevar el tercer camión, es igual, a lo que puede llevar el segundo camión con el cuarto. ¿Cuántos litros de agua puede llevar el tercer camión?

Aquí podemos determinar una igualdad entre el primer camión y el segundo camión, 18 996 = 18 996. Además, nos mencionan, que los 18 996 litros de agua del primer camión, más lo que puede llevar el tercer camión, son iguales a los 18 996 litros de agua del segundo camión, más los 37 992 litros de agua del cuarto camión, que pueden llevar ambos. Esto, nos dice que para que se cumpla esa igualdad, entonces el tercer camión puede llevar la misma cantidad de agua que el cuarto camión. Con lo que, el cuarto camión puede llevar 37 992 litros.

Los axiomas de monotonía se diferencia de los axiomas de uniformidad, en que estos tienen que ver con las desigualdades. El primer axioma de monotonía nos dice.

Primer axioma de monotonía

"Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma el mismo número, la desigualdad permanece"

Para expresar simbólicamente este axioma, se tienen que contemplar las desigualdades estrictas y amplias. Además, las letras a, b y c son números naturales, con lo que tenemos.

En donde a, b y c ∈

Esto nos dice que si tenemos una desigualdad cualquiera, al incrementar cada miembro por un mismo número natural, entonces la desigualdad se mantiene. Es decir, de la siguiente desigualdad 5 > 2, al incrementar cada miembro en 4, entonces tendremos la siguiente desigualdad 5 + 4 > 2 + 4.

Ejemplo 1.

Se tiene 1 kilo de manzanas y 2 kilos de arroz. Si después se compran 1 kilo más de cada producto. ¿Las manzanas pesarán más que el arroz?

La respuesta aquí es No, ya que sabe que 2 kilos de arroz es más que 1 kilo de manzanas, y al incrementar en 1 kilo ambos productos, es como si estuviéramos, incrementando ambos miembros de la desigualdad 2 > 1, y como consecuencia la desigualdad se mantiene.

Ahora veremos el segundo axioma de monotonía, que nos dice.

Segundo axioma de monotonía

"Cuando se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene la misma desigualdad del mismo sentido"

Del mismo modo que el primer axioma de monotonía para expresarlo simbólicamente, debemos contemplar las desigualdades estrictas y amplias, con lo que tendremos.

En donde a, b, c y d ∈

El segundo axioma de la monotonía, nos da a entender que si se suman, miembro a miembro, dos desigualdades, se creará o formará otra desigualdad del mismo sentido. Es decir, si tenemos las dos siguientes desigualdades 4 > 3 y 2 > 1, entonces al sumarlas miembro a miembro, tendremos 4 + 2 > 3 + 1, y esto nos creará la siguiente desigualdad del mismo sentido, 7 > 3

Ejemplo 2.

Se tienen 4 cajas, la primera caja pesa más que la segunda, y la tercera pesa menos que la cuarta. Será verdad ¿Qué la cuarta caja y la primera, pesan más, que la segunda y tercera caja?

Si etiquetamos, las cajas del siguiente modo: c1 para la primera caja, c2 para la segunda, c3 para la tercera y finalmente c4 para la cuarta caja. Entonces, podemos decir que c1 > c2 y c3 < c4. Ahora, tenemos dos desigualdades de sentidos distintos. Pero, podemos escribir c3 < c4 como c4 > c3.
Con eso, ya podemos tener dos desigualdades con el mismo sentido, c1 > c2 y c4 > c3. Al sumar miembro a miembro estas desigualdades, podemos observar que la primera caja se sumará con la cuarta caja, y la segunda caja con la tercera. Es decir, c1 + c4 > c2 + c3. Y esto coincide, con lo que nos están preguntando, entonces podemos decir que si es verdad, que la cuarta y primera caja, pesan más que, la segunda y tercera caja.

Del segundo axioma de monotonía, si las desigualdades son una estricta y la otra amplia, se puede deducir el siguiente axioma.

Axioma 1.

"Cuando se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, siendo una estricta y la otra amplia, se obtiene una desigualdad estricta del mismo sentido"

Y simbólicamente es tal como se muestra en la siguiente tabla.

En donde a, b, c y d ∈