Todo sistema de numeración posicional tiene una base, que nos indicará las cifras que se usarán para nombrar y escribir cualquier numeral. La base siempre es una unidad mayor que la cifra mayor que se usará para escribir el número en determinada base. Es decir, la mayor cifra posible o cifra máxima que debe tener un numeral es el valor de la base menos 1, y para cualquier otra cifra, estas deben ser menores a la base. En los sistemas de numeración posicional, cada cifra puede tener un valor relativo y absoluto. Por ejemplo, del número 38546, o mejor dicho, el numeral 38546, escrito en el sistema de numeración posicional, nos indica que la cifra 8 tiene un valor absoluto de 8, pero su valor relativo es de 8000 unidades.

También se debe recordar que en los sistemas de numeración posicional, llamamos orden cuando, leemos las cifras de un número, de derecha a izquierda, empezando con la posición 1, y llamamos o mencionamos lugar de una cifra cuando leemos las cifras de un número, de izquierda a derecha. Por ejemplo, del número 45671 o numeral 45671, decimos que la cifra 5 ocupa el cuarto orden o es de orden 4, y decimos que la cifra 5 ocupa el segundo lugar o está en el lugar 2.

La representación literal de un numeral en un sistema de numeración posicional es como sigue:

abcdef_n

En donde "a", "b", "c", "d", "e" y "f" representan las cifras del numeral y "n" representa la base del sistema posicional, las cifras siempre se representan con letras del abecedario en minúsculas. Si no se coloca la base, entonces la representación literal nos indica que estamos usando el sistema de numeración posicional en base 10 o sistema de numeración decimal, que es el sistema de numeración que usamos en nuestra vida cotidiana. Esta representación literal debe tener un subrayado sobre las letras que representan las cifras del numeral, esto para evitar confusiones, tales como la expresión que nos indica una multiplicación de dos números, es decir "ab" nos indica la multiplicación de "a" con "b", pero "ab" nos indica la representación literal de un numeral en base 10 de dos cifras. En toda representación literal de un numeral, la cifra que ocupa el primer lugar siempre es diferente de cero o mayor o igual que 1.

Cuando queremos expresar una cifra de un numeral como el resultado de una operación matemática, esta expresión matemática la colocamos entre paréntesis. Por ejemplo, el siguiente numeral nos indica que la cifra del lugar 2, se obtiene con la operación indicada.

a(a-1)c_n

La operación nos indica que la cifra de lugar 2 es la cifra del lugar 1 menos 1, es decir, si a=4 y c=8 en la base 10, entonces el número o numeral será: a(a-1)c_n=438.

Algunas observaciones a tener en cuenta con los sistemas de numeración posicional.

• Para cualquier número abc_n se debe cumplir que a<n, b<n y c<n, por lo tanto, n>a,b,c>=0
• Si abcd_n = efg_m, entonces n<m, en donde abcd_n tiene 4 cifras y efg_m tiene 3 cifras.
• Si abc_n = efg_m y a<e, entonces n<m

Ejemplo 1

Indicar si los siguientes números 254₈, 141₂, 10101₂, 101₅, están escritos correctamente, en un sistema numérico posicional

• 254₈, esta escrito correctamente porque 2<8, 5<8, 4<8, es decir todas sus cifras son menores que la base 8
• 141₂, no esta escrito correctamente porque la cifra 4 es mayor que la base 2
• 10101₂, esta escrito correctamente porque todas sus cifras son menores que la base 2
• 101₅, esta escrito correctamente porque todas sus cifras son menores que la base 5

Existen varios sistemas de numeración posicional y todos se reconocen por la base a utilizarse. Cuando usamos la base 2, decimos que el sistema es binario; cuando usamos la base 10, decimos que el sistema es decimal. El sistema de numeración decimal es el que usamos en nuestra vida cotidiana. El sistema binario es un sistema muy usado en computación o en calculadoras.

A continuación, algunos de los sistemas de numeración posicionales más conocidos, con su base y cifras disponibles.

Ejemplo 2

Indicar si los siguientes números están correctamente escritos en un sistema de numeración posicional 451₆, 12312₄, 1010₂, 123₂

• 451₆, esta escrito correctamente porque 4<6, 5<6, 1<6, es decir todas sus cifras son menores que la base 6
• 12312₄, esta escrito correctamente porque todas sus cifras son menores que la base 4
• 1010₂, esta escrito correctamente porque todas sus cifras son menores que la base 2
• 123₂, no esta escrito correctamente porque la cifra 3 es mayor que la base 2

Ejemplo 3

Indicar si los siguientes números están correctamente escritos en un sistema de numeración posicional 45AF₁₆, 4A₂, 2A₁₁, 10AB₁₂

• 45AF1₁₆, esta escrito correctamente porque todas sus cifras son menores que la base 16

  • 4<16
  • 5<16
  • A=10 entonces A<16
  • F=15 entonces 15<16
  • 1<16

• 4A₂, no esta escrito correctamente porque la cifra 4 es mayor que la base 2, y la cifra A=10 es mayor que la base 2

• 2A₁₁, esta escrito correctamente porque todas sus cifras son menores que la base 11

  • 2<11
  • A=10 entonces A<11

• 10AB₁₂, esta escrito correctamente porque todas sus cifras son menores que la base 12

  • 1<12
  • 0<12
  • A=10 entonces A<12
  • B=11 entonces B>12

En todo sistema de numeración posicional, existe una forma de descomponer el número en una suma de los valores relativos o posicionales de cada cifra. Debemos entender que el valor relativo de una cifra, es el valor que tiene dicha cifra según el orden que ocupa en el numeral. A esta forma de descomposición, se le conoce como descomposición polinómica.
El valor relativo de una cifra se puede hallar multiplicando, la cifra por la potencia de la base del numeral, elevado al orden que ocupa la cifra menos 1. Por ejemplo, en el siguiente numeral en base 10: 4 589, el valor de la cifra 5, que está en el orden 3, su valor relativo es: 5x10^3-1 = 5x10² = 500.
En la descomposición polinómica expresamos la suma de los valores relativos, usando las potencias de sus bases, es decir, si descomponemos el número 4 589, con la suma de sus valores relativos tendremos: 4 589 = 4 000 + 500 + 80 + 9, pero en la descomposición polinómica la suma de los valores relativos de sus cifras, lo expresamos como potencias de su base. Siguiendo con el ejemplo, 4 589 se expresaría del siguiente modo: 4 589 = 4x10³ + 5x10² + 8x10¹ + 9x10⁰.
Simbólicamente, la descomposición polinómica de un número en cualquier sistema de numeración posicional se puede expresar del siguiente modo:



En donde a_n, a_n-1, a_n-2, ..., a₃, a₂, a₁, a₀ son las cifras del número y b es la base del sistema de numeración que se está usando.

Ejemplo 4

Descomponer polinómicamente los siguientes números: 45AF₁₆, 1010₂, 19A₁₁, B3A₁₂

• 45AF₁₆ = 4x16³ + 5x16² + Ax16¹ + Fx16⁰
• 1010₂ = 1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 0x2⁰
• 19A₁₁ = 1x11² + 9x11¹ + Ax11⁰
• B3A₁₂ = Bx12² + 3x12¹ + Ax12⁰

Los números decimales son aquellos números que tienen una parte entera y una parte decimal, no debemos confundir número decimal con sistema de numeración decimal, los números decimales están escritos usando el sistema de numeración decimal, y cuando hablamos de sistema de numeración decimal, nos referimos al sistema de numeración posicional que usa la base 10. Para otros sistemas de numeración posicional, estos números también tienen una parte entera y una parte fraccionaria que nos permite representar la aproximación del número, pero, en los sistemas de numeración decimal, llamamos parte decimal a la parte fraccionaria.

La parte fraccionaria de un número, en un sistema de numeración posicional, se coloca después de la parte entera, separada por un punto decimal. La descomposición polinómica, del número con parte entera y parte fraccionaria, consistirá en la suma de los valores relativos, usando las potencias de sus bases con exponente positivo, para la parte entera y para la parte fraccionaria, esta consistirá en la suma de los valores relativos, usando las potencias de sus bases con exponente negativo. Es decir, con respecto a los exponentes de sus bases, si el número tiene en su parte entera 5 cifras, entonces el exponente más alto empezara en 4 e irá disminuyendo de 1 en 1, hasta llegar a 0, para luego seguir con la parte fraccionaria, teniendo -1, teniendo -2, por cada cifra en la parte fraccionaria, hasta llegar a la última cifra significativa de la parte fraccionaria. Por ejemplo, el siguiente numeral en base 10, 42 589.156, lo podemos descomponer del siguiente modo: 4x10⁴ + 2x10³ + 5x10² + 8x10¹ + 9x10⁰ + 1x10^-1 + 5x10^-2 + 6x10^-3.

Simbólicamente, la descomposición polinómica de un número con parte entera y parte fraccionaria en cualquier sistema de numeración posicional se puede expresar del siguiente modo:



En donde a_n, a_n-1, a_n-2, ..., a₃, a₂, a₁, a₀, a_-1, a_-2 son las cifras del número y b es la base del sistema de numeración que se está usando.

Ejemplo 5

Descomponer polinómicamente los siguientes números: 23.A2₁₆, 11.01₂, 8.A7₁₁, 20.B1₁₂

• 23.A2₁₆ = 2x16¹ + 3x16⁰ + Ax16^-1 + 2x16^-2
• 10.01₂ = 1x2¹ + 0x2⁰ + 0x2^-1 + 1x2^-2
• 8.A7₁₁ = 8x11⁰ + Ax11^-1 + 7x11^-2
• 20.B1₁₂ = 2x12¹ + 0x12⁰ + Bx12^-1 + 1x12^-2