Decimos que dos cantidades son iguales si representan la misma cantidad de cosas, es decir, si el número cardinal de un grupo de cosas es igual al número cardinal de otro grupo de cosas.

La igualdad se representa con el símbolo =, colocando en ambos lados las cantidades que se comparan.

Ejemplo 1.

Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 8 manzanas y en otra cesta de peras, después de contarlas obtenemos que hay 8 peras, entonces decimos que ambas cestas tienen la misma cantidad de manzanas y peras, entonces decimos que 8 es igual a 8. Usando el símbolo = la igualdad se escribe del siguiente modo:

8 = 8.

Decimos que dos cantidades son desiguales si no representa la misma cantidad de cosas, es decir, si el número cardinal de un grupo de cosas no es igual al número cardinal de otro grupo de cosas.

La desigualdad se representa con el símbolo ≠, colocando en ambos lados las cantidades que se comparan.

Ejemplo 2.

Si en una cesta de manzanas, después de contarlas obtenemos que hay 10 manzanas y en otra cesta de peras, después de contarlas obtenemos que hay 8 peras, entonces decimos que ambas cestas no tienen la misma cantidad de manzanas y peras, entonces decimos que 10 no es igual a 8. Usando el símbolo ≠, la desigualdad se escribe del siguiente modo:

10≠8.

Las cantidades que se comparan para saber si son iguales o desiguales se les suele llamar miembros de la igualdad o desigualdad, siendo el primer miembro la cantidad que está a la izquierda del símbolo de la igualdad o desigualdad y segundo miembro a la cantidad que está a la derecha.

La desigualdad también se representa usando los símbolos >, <, en donde la punta de los símbolos siempre señala al que menos cantidad de cosas representa. El símbolo > se conoce como “mayor qué”, y al símbolo < se le denomina “menor qué”.

Ejemplo 3.

Determinar si 10>8, es correcto

10>8, Nos dice que 10 es mayor que 8, porque 10 representa más cosas que 8, entonces es correcto.

Ejemplo 4.

Determinar si 8<10, es correcto

8<10, Nos dice que 8 es menor que 10, porque 8 representa menos cosas que 10, entonces es correcto.

La definición de igualdad y desigualdad, se puede generalizar explicándolo simbólicamente, en donde las letras a y b, representan cualquier número natural, del siguiente modo:

Existen otros símbolos de desigualdad que son, el mayor o igual que, cuyo símbolo es ≥, y el menor o igual que, cuyo símbolo es ≤, en donde:

Ejemplo 5.

Indicar si las siguientes desigualdades están bien escritas: 4≥3, 4≥4, 4≤5, 4≤4

• 4≥3, esta desigualdad nos dice que 4 es mayor o igual que 3, y se cumple aunque 4 y 3 no sean iguales, entonces está bien escrita.
• 4≥4, esta desigualdad nos dice que 4 es mayor o igual que 4, y se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primer miembro no sea mayor, entonces está bien escrita.
• 4≤5, esta desigualdad se cumple porque 4 es menor que 5, aunque este no sea igual a 3, entonces está bien escrita.
• 4≤4, esta desigualdad se cumple porque 4 es igual a 4, aunque el primero no sea menor, entonces está bien escrita.

Ejemplo 6.

Indicar si las siguientes igualdades y desigualdades se cumplen: 4=3, 4>3, 4<3, 148≤147

• 4=3, no se cumple, porque 4 representa una cantidad mayor de cosas que 3.
• 4>3, si se cumple, porque 4 representa una cantidad mayor de cosas que 3.
• 4<3, no se cumple, porque 4 representa una cantidad mayor de cosas que 3.
• 148≤147, no se cumple, porque 148 representa una cantidad mayor de cosas que 147.

Las desigualdades mayor que y menor que, se consideran reversibles o inversas. Esto nos permite intercambiar los miembros de la desigualdad, cambiando las desigualdades, es decir, haciendo que la punta de los símbolos siempre señale al que menor cantidad de cosas tiene. Es decir, si un número es mayor que un segundo número, entonces el segundo es menor que el primero; y ocurre lo mismo al revés, si un número es menor que otro segundo número, entonces el segundo es mayor que el primero. Teniendo presente que a y b son dos números naturales diferentes, y expresando esto simbólicamente, tendríamos:

Si a>b entonces b<a

Si a<b entonces b>a

Ejemplo 7.

Juan el día lunes compro más arroz que el martes, el martes compro menos arroz que el lunes, y el miércoles compro más arroz que el martes. Y esto lo anoto del siguiente modo:
L > X, M < L, X > M
En donde la letra L, es lunes, M es martes, y X es miércoles.
Indicar ¿Cuál de las siguientes opciones expresa lo mismo que anoto Juan?

a) X < L, M < L, X < M
b) X < L, M < L, M < X
c) L < X, M < L, M < X

Lo primero que debemos hacer es expresar o reescribir lo que anoto Juan con las desigualdades inversas correspondientes, y como las opciones usan la desigualdad < entonces debemos cambiarla con esa desigualdad.

Para L > X, su desigualdad inversa es X < L.
Para M < L, no se necesita hacer el cambio.
Para X > M, su desigualdad inversa es X < M.

Con lo que la opción que expresa lo mismo que anoto Juan es la opción b.

Se debe mencionar que las desigualdades ≤ y ≥, son también reversibles. Además, estas desigualdades son conocidas como desigualdades amplias o no estrictas, y las desigualdades < y > son conocidas como desigualdades estrictas.

Tenemos que tener presente que las desigualdades amplias, es la unión de dos comparaciones, en el caso de ≤ es el resultado de comparar una igualdad con el menor que, y en el caso de ≥ es el resultado de comparar una igualdad con el mayor que. Y la comparación será correcta o verdadera, si una de las dos comparaciones se cumple. Es decir 4≤4 es cierto o verdadero, porque 4 es igual 4, aunque 4 no es menor que 4, ya que son iguales; por otro lado, 5≥1 es cierto o verdadero, porque 5 es mayor que 1, pero no es cierto que 5 sea igual que 1.

Generalmente, comparamos números para ordenarlos, no obstante, existen otras razones por el cual comparar números. Aquí veremos como comparar números para ordenarlos de forma ascendente y descendente. Decimos, que una secuencia de números está ordenado de manera ascendente, cuando la secuencia de números va desde el menor número hasta el mayor de ellos, en donde cada número de la secuencia es mayor que el anterior, y decimos, que una secuencia de números está ordenado de manera descendente, cuando la secuencia de números va desde el mayor hasta el menor de ellos, en donde cada número es menor que el anterior.

Ejemplo 1.

Ordenar, de forma ascendente y descendente, la siguiente secuencia de números naturales. 5, 18, 10, 9, 1, 3

Para ordenarlos de forma ascendente, lo que haremos es ir comparando los números para determinar el menor de todos ellos, y luego buscamos el siguiente, que será el menor de los que quedan por ordenar y así sucesivamente. Con lo que obtendremos la siguiente secuencia.

1, 3, 5, 9, 10, 18

Para ordenarlos de forma descendente, lo que haremos es ir comparando los números para determinar el mayor de todos ellos, y luego buscamos el siguiente, que será el mayor de los que quedan por ordenar y así sucesivamente. Con lo que obtendremos la siguiente secuencia.

18, 10, 9, 5, 3, 1

Al comparar números naturales, podemos decir que un número con mayor cantidad de cifras es siempre mayor que uno que tenga menor cantidad de cifras, es decir, 30 es mayor que 5, ya que 30 tiene dos cifras y 5 solo una, lo mismo sucede con 456 897 y 56 897, en donde 456 897 es mayor que 56 897, ya que 456 897 tiene 6 cifras y el otro solo 5. Pero, que sucede si los números tienen la misma cantidad de cifras, entonces se debe comparar de izquierda a derecha las cifras de esos números, es decir, comparamos los lugares correspondientes de cada cifra de cada número a comparar, y si una de las cifras que ocupan el mismo lugar en ambos números a comparar es mayor o menor, entonces el número mayor será el que tenga la cifra mayor y el número menor será el que tenga la cifra menor. Por ejemplo, 456 897 es mayor que 453 897, porque la cifra en el tercer lugar de 456 897 es mayor que la cifra en el tercer lugar de 453 897, es decir 6 es mayor que 3.

Ejemplo 2.

Ordenar, de forma ascendente y descendente, la siguiente secuencia de números naturales. 458 367, 458 271, 426 789, 455 999

Para ordenarlos de forma ascendente, lo que haremos en este caso es ir comparando los números para determinar el menor de todos ellos, pero usando el lugar de las cifras, ya que todos son iguales, y luego buscamos el siguiente que será el menor de los que quedan por ordenar y así sucesivamente. Con lo que obtendremos la siguiente secuencia.

426 789, 455 999, 458 271, 458 367

En esta secuencia, 426 789 es el menor de todos, porque la cifra 2 que está en segundo lugar, es menor a las otras cifras de segundo lugar de los otros números. El 455 999, también es menor que los otros dos que quedarían por ordenar, porque su cifra en tercer lugar es el menor. El 458 271, tiene la cifra de cuarto lugar menor a la cifra de cuarto lugar del que queda, que en este caso es el 458 367, siendo el 458 367 el mayor de todos los números de la secuencia.

Para ordenarlos de forma descendente, lo que haremos es lo mismo que hicimos antes, pero comparamos el lugar de las cifras de los números para determinar el mayor de ellos, y así con las siguientes cifras de los números que van quedando sin ordenar. Con lo que obtendremos la siguiente secuencia.

458 367, 458 271, 455 999, 426 789

Obviamente, si la secuencia de números ya se ordenó de forma ascendente, entonces la secuencia se puede ordenar de forma descendente cambiando el orden de los mismos, es decir, el último será el primero, el penúltimo será el segundo, etc., dicho de otro modo, lo escribimos al revés o en sentido contrario.

Nota: El lugar de una cifra dentro de un número por convención se cuenta de izquierda a derecha, empezando por el 1. El orden de una cifra dentro de un número por convención se cuenta de derecha a izquierda, empezando por el 1. Algunos textos consideran el orden de una cifra, empezando el conteo de las mismas por el 0. Nosotros, consideraremos el orden de las cifras empezando por el 1. ver capitulo 1.1

Para expresar simbólicamente los siguientes axiomas, usaremos las letras a, b y c, que representaran tres números naturales diferentes, en donde "a" será el primer número, "b" el segundo y "c" el tercero. También usaremos el símbolo ⇒, que como se explicó anteriormente, significa literalmente la palabra entonces.

El axioma más importante de la desigualdad, es el de la transitividad, o axioma transitivo de la desigualdad. Este axioma se puede expresar de la siguiente manera:

Axioma transitivo.

"Si dos números naturales cumplen una desigualdad, y si el segundo número cumple la misma desigualdad con un tercer número; entonces, el primer número cumple la misma desigualdad con el tercer número"

Para entender este axioma, podemos interpretarlo, con el hecho de hacer siempre las mimas comparaciones sucesivamente, con los tres números. Es decir, si se compara el primer número, con el segundo, y luego comparamos el segundo con un tercer número. Entonces, al comparar el primer número con el tercero, podemos determinar si el primer número no será igual que el tercero, menor que el tercero, mayor que el tercero, menor o igual que el tercero o finalmente mayor o igual que el tercero.

Este axioma se puede expresar simbólicamente usando los símbolos correspondientes de la desigualdad, tal como se muestra a continuación.

Otro axioma de la desigualdad e igualdad, es conocida como la ley de tricotomía o axioma de tricotomía. Este axioma nos dice:

Axioma de tricotomía.

Si comparamos dos números naturales, entonces se cumple que una y solo una de las siguientes proposiciones se cumple:

• Que ambos sean iguales.
• Que uno sea mayor que el otro.
• Que uno sea menor que el otro.

Este axioma nos dice que si comparamos un par de números, estos no podrán cumplir con otras comparaciones. Es decir, si decimos que 1458 es mayor que 256, entonces sería falso decir, que 256 sea mayor que 1458 y que ambos sean iguales.

La ley de tricotomía no se usa con desigualdades amplias, ya que, si decimos que 4 es igual a 4, entonces sería cierto decir que 4 ≥ 4 y que 4 es ≤ 4.

Otro axioma de la igualdad y desigualdad, que sería una variante del axioma transitiva, es el siguiente.

Axioma 1.

"Si dos números naturales son iguales, y si el segundo cumple una desigualdad con un tercer número natural; entonces, el primer número cumple la misma desigualdad con el tercer número"

Podemos entender este axioma como dos comparaciones, en donde el primero será una igualdad y el segundo una desigualdad. En la primera comparación se compara un primer número con un segundo número, y en la segunda comparación se compara el segundo número con un tercero número. Si la segunda comparación se comprueba o verifica que es cierto o verdadero, entonces se puede concluir que el primer número cumple la desigualdad con el tercer número de la segunda comparación. Obviamente, los tres números mencionados son números naturales.

Este axioma se puede expresar simbólicamente usando los símbolos correspondientes de la desigualdad, en la segunda comparación, tal como se muestra a continuación.

El axioma descrito anteriormente se puede expresar, comparando primero la desigualdad y después la igualdad. Con lo que tendríamos lo siguiente.

Axioma 2.

"Si dos números naturales cumplen una desigualdad, y si el segundo cumple una igualdad con un tercer número natural; entonces, el primer número cumple la misma desigualdad con el tercer número"

Y simbólicamente tendríamos:

De los axiomas 1 y 2 podemos determinar que al comparar una igualdad y una desigualdad, con tres números naturales, tal como se describe en los axiomas, es la desigualdad la que cumplirá al comparar el primer número con el tercero.

Otro axioma que se puede mencionar, es cuando comparamos dos desigualdades en donde una es amplia y la otra estricta, es decir, tendríamos el siguiente axioma.

Axioma 3

"Si dos números naturales cumplen una desigualdad amplia, y si el segundo cumple una desigualdad estricta del mismo sentido con un tercer número natural; entonces, el primer número cumple la misma desigualdad estricta con el tercer número"

Del mismo modo que los axiomas 1 y 2, cambiando las comparaciones, tendríamos un cuarto axioma

Axioma 4

"Si dos números naturales cumplen una desigualdad estricta, y si el segundo cumple una desigualdad amplia del mismo sentido con un tercer número natural; entonces, el primer número cumple la misma desigualdad estricta con el tercer número"

De los axiomas 3 y 4, se menciona sobre desigualdades del mismo sentido, esto nos indica que las desigualdades < y ≤, tienen el mismo sentido porque la cantidad menor estará en el primer miembro. Lo mismo sucede con las desigualdades > y ≥, en donde la cantidad menor estará en el segundo miembro. Es decir, decimos que una desigualdad estricta y amplia tienen el mismo sentido, cuando la punta de sus símbolos apunta siempre en la misma dirección.

Simbólicamente, estos axiomas se pueden escribir de la siguiente manera.