MATEMATICA I

Al igual que la potencia con números naturales y enteros, la potencia con números fraccionarios es la operación que consiste en multiplicar un numero fraccionario tantas veces nos indica otro numero entero o fraccionario, al resultado se denomina potencia, el número fraccionario que se va a multiplicar tantas veces se denomina base y el número que indica cuantas veces se ha de multiplicar se conoce como exponente. Tal como se muestra a continuación:

En donde a/b es la base, c el exponente y d la potencia, esto se lee o se expresa como: “a/b elevado a la c es d”.

Cuando el exponente es una fracción entonces la potencia se expresa como una radicación del siguiente modo:

En donde m/n es el exponente fraccionario, y tal como se puede observar, n se convierte en el índice de la radicación y m en el exponente de la potencia de la fracción a/b. Además, la potencia de a/b elevado a la m, se convierte en el radicando, es decir (a/b)^m es el nuevo radicando. A las bases de una potencia de números fraccionarios siempre se recomienda encerrarla entre paréntesis.

Ejemplo 1.

En este ejemplo, para sacar la raíz cuadrada de la fracción 1/8, lo que se hace es obtener la raíz por separado del numerador y denominador de la fracción 1/8, y como 8 no tiene raíz cuadrada exacta simplemente se deja indicado.

Las potencias con exponentes positivos se le conoce como potencia de números fraccionarios con exponente natural o potencias de exponente natural. La base de una potencia de números fraccionarios siempre se recomienda encerrarla entre paréntesis.

Ejemplo 2.

(2/3)³=8/27 se expresa como 2/3 elevado a la 3 es 8/27, es decir

Las potencias con exponente positivo, nos indica que debemos multiplicar ese numero tantas veces nos indica el exponente, pero en el caso de un exponente negativo, este nos indicara que debemos dividir la unidad o el número 1 con la base tantas veces nos indique el exponente negativo sin considerar su signo. Pero como la base es un numero fraccionario al dividir la unidad con una fracción, la fracción se invierte.

Ejemplo 3.

(2/3)^-3=27/8 se expresa como 2/3 elevado a la -3 es 27/8, es decir

Otra manera de entenderlo es decir que la fracción se invierte y se eleva a la potencia positiva, es decir

Ejemplo 4.

Hallar la potencia de (3/5)^-2

Otro modo de expresar o escribir la potencia es usando el símbolo del circunflejo ^, este método es usado mucho con el uso de las computadoras como las hojas de cálculo. Tal como se muestra a continuación:

(a/b)^c=d

En donde a/b es la base, c el exponente y d la potencia, esto se lee o se expresa como: “a/b elevado a la c es d”.

Ejemplo 5.

(2/3)^3=8/27 se expresa como 2 elevado a la 3 es 8, es decir 2/3x2/3x2/3=8/27

En los números fraccionarios se suele usar expresiones como el cuadrado de 3/4 o el cubo de otro número fraccionario, para indicar potencias con exponente 2 y 3 respectivamente.

Ejemplo 6.

Hallar el cuadrado de 3/5.

Ejemplo 7.

Hallar el cubo de 4/7

Al igual que los números enteros cuando la base es una fracción negativa, dependiendo de si el signo esta fuera o dentro de los paréntesis, la fracción con su signo se debe elevar a la potencia indicada.

Ejemplo 8.

Hallar la potencia de

Ejemplo 9.

Hallar la potencia de

Ejemplo 10.

Hallar la potencia de

Para determinar más fácilmente el signo de una potencia racional, se usan los siguientes algoritmos o procedimientos a seguir:

1. Las potencias de exponente par positivo o negativo son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar positivo o negativo siempre tienen el signo de la base.

Ejemplo 11.

(-2/3)³=-8/27

(-11/12)²=121/144

-(1/2)³=-1/8

-(3/2)²=-9/4

(-1/2)^-3=-8

(-2/3)^-2=9/4

-(2/5)^-3=-125/8

-(1/2)^-2=-4

En los siguientes teoremas las letras a,m y n representan números fraccionarios.