Ejercicios resueltos de productos notables 01

Dentro del álgebra, la multiplicación de ciertas expresiones algebraicas o polinomios se puede realizar sin hacer la operación. Es decir el resultado se puede obtener sin la necesidad de multiplicar cada uno de los términos de las expresiones algebraicas o polinomios. De ese modo se puede ahorrar tiempo y complicaciones. Para poder obtener el resultado sin multiplicar cada uno de los términos, se suele recurrir a reglas fijas o usar formulas. A este conjunto dé formulas o reglas se conocen como productos notables o identidades algebraicas.

1. Binomio al cuadrado conocido como cuadrado de una suma y una diferencia.
   
   (a+b)² = a²+2ab+b²
   (a-b)² = a²-2ab+b²
   
   
2. Diferencia de cuadrados.
   
   (a+b)(a-b)= a²-b²
   
   
3. Trinomio al cuadrado o cuadrado de un trinomio.
   
   (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
   
   
4. Binomio al cubo o cubo de una suma o diferencia.
   
   (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
   (a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³
   
   Identidad de Cauchy
   
   (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b)
   (a-b)³ = a³-b³-3ab(a-b)
   
   
5. Producto de dos binomios con un término común o identidad de Steven.
   
   (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab
   
   
6. Suma y diferencia de cubos.
   
   a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
   a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
   
   
7. Identidades de Legendre.
   
   (a+b)²+(a-b)² = 2(a²+b²)
   (a+b)²-(a-b)² = 4ab
   (a+b)⁴-(a-b)⁴ = 8ab(a²+b²)
   
   
8. Trinomio al cubo.
   
   (a+b+c)³ = a³+b³+c³+3a²b+3a²c+3b²a+3b²c+3c²a+3c²b+6abc
   (a+b+c)³ = a³+b³+c³+3(a+b)(a+c)(b+c)
   (a+b+c)³ = a³+b³+c³+3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc
   (a+b+c)³ = a³+b³+c³+3a²(b+c)+3b²(a+c)+3c²(a+b)+6abc
   
   

‒ Ejercicio 01.

Si x²+y² = 20; xy = 5, calcular P = (x+y)²-10

‒ Ejercicio 02.

Si x³ + y³ = 10; xy=7, calcular E = (x+y)³ - 21(x+y) + 7

‒ Ejercicio 03.

Efectuar: (x+y)(x-y) + (x²+y²) e indicar la respuesta correcta.

a) 2x b) 2x³ c) 2x² d) 2x^-2

‒ Ejercicio 04.

Efectuar: (a² + b²)(a² - b²)(a⁴ + b⁴)+(a⁸ + b⁸) e indicar la respuesta correcta

a) 2b⁸ b) 2a^-8 c) 2a⁸ d) -2a⁸

‒ Ejercicio 05.

Si 2x+y=2; calcular :

‒ Ejercicio 06.

Si 2x-y= y xy=2; entonces (2x+y)² es :

a) -8 b) 8 c) -24 d) 8^-1 e) 24

‒ Ejercicio 07.

Si ; entonces (x² + x^-2) + (x³ + x^-3) es:

a) 1417 b) 1317 c) 1713 d) 1714 e) 1147

‒ Ejercicio 08.

Si ;   entonces     es :

‒ Ejercicio 09.

Determinar el valor de:  

‒ Ejercicio 10.

Si  , hallar m=a⁶+a^-6

a)  2   b)  2   c)  -2   d)     e)  -2

‒ Ejercicio 11.

Hallar el valor de  
Si xy = 2;   x²+y²=3

‒ Ejercicio 12.

Si   ; x>0;  y>0
Calcular  
a) 12   b) 3   c) 19   d) 9   e) 11

‒ Ejercicio 13.

Si  ;  hallar el valor de



a) 4   b) 1   c) -4   d) -2   e) 4^-1

‒ Ejercicio 14.

Simplificar  
a) b   b) n   c) -2   d) a   e) 0

‒ Ejercicio 15.

Hallar el valor de E sin usar calculadora  

a) 3   b) 22   c) 21   d) 25   e) 2

‒ Ejercicio 16.

Hallar el valor de  E = (x + 3y)(x + 4y)(x -2y)(x - 3y);   si x² + xy = 10y²

a) 2y⁴   b) 0   c) x²   d) 8y⁴   e) 2y²

‒ Ejercicio 17.

Si a + b = y ab = 3 Hallar a - b

a) 0   b)   c)   d)   e)

‒ Ejercicio 18.

Si a² + b² = 6 y a + b = 3.   Hallar a - b.

a) 1   b)   c)   d)   e) 6

‒ Ejercicio 19.

Si (a+b)⁴ = 49+20 y (a-b)⁴=49-20 y a²+b²=5, hallar ab

a) 8   b)   c)   d) 5   e) 49

‒ Ejercicio 20.

Si   x+y+z=3   y   xy+xz+yz=1

Hallar  
a) -18   b) 18   c)   d)   e) 24

‒ Ejercicio 21.

Si a= y b=

Hallar  E= [2^-1{ (a+b)²+(a-b)² } -ab] (a+b)

a ) 2   b ) 3^-1   c ) 5   d) 7   e) -7

‒ Ejercicio 22.

Hallar el valor de E:


a) 100   b) 2   c) 0   d) -2   e) 5   f) 1

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