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MATEMATICA I

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MATEMATICA I


16. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS RACIONALES..
16.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON DOS NÚMEROS RACIONALES.
16. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS RACIONALES..
16.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON DOS NÚMEROS RACIONALES.
16. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS RACIONALES..
16.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON DOS NÚMEROS RACIONALES.
ÍNDICE


‒ Algoritmo de la adición y sustracción de dos números racionales. (Método del aspa)

Para hallar la suma o diferencia de dos números racionales, se puede usar el método del aspa. Que consiste en el siguiente algoritmo:

  1. Escribimos la operación colocando entre las fracciones el signo de la operación y si tenemos fracciones negativas, reescribimos las fracciones colocando el signo negativo en el numerador.
  2. Escribimos un signo igual y después dibujamos una linea. Luego multiplicamos los denominadores para obtener el nuevo denominador, que se coloca debajo la línea.
  3. Luego multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción, y lo colocamos encima de la línea con su signo correspondiente.
  4. Luego colocamos encima el signo de la operación que vamos a realizar + para adición – para sustracción.
  5. Después multiplicamos el numerador de la segunda fracción con el denominador de la primera fracción, y lo colocamos encima de la línea con su signo correspondiente.
  6. Sumamos o restamos según sea el caso los números que se encuentran encima de la línea para obtener el nuevo numerador. En caso los números obtenidos sean números enteros se operan como tal y a la nueva fracción obtenida se le pone el signo.
  7. Si la fracción obtenida se puede dividir entonces se simplifica o divide la fracción, siendo este el resultado final.

Cuando queremos restar o sumar un número entero cualquiera con un número racional, podemos asumir que el denominador de cualquier número entero es 1, y de ese modo realizamos la operación.

Ejemplo 1.

Sumar los siguientes números racionales.


Primero debemos escribir la operación y reescribir las fracciones colocando el signo en el numerador.



Ahora hallamos el nuevo denominador que es : 3 x 2 = 6 y lo colocamos debajo de la línea



Luego multiplicamos el numerador de la primera fracción que es -5 con el denominador de la segunda fracción que es 2. Es decir multiplicamos -5 x 2 = -10 y lo colocamos encima de la línea.



Colocamos el signo de la operación encima de la línea.



Después multiplicamos el numerador de la segunda fracción que es -3 con el denominador de la primera fracción que es 3. Es decir -3 x 3 = -9 y lo colocamos encima de la línea.



Operamos -10+-9=-19. La fracción resultante será entonces :


Ejemplo 2.

Sumar los siguientes números racionales.


Escribimos la operación y reescribimos las fracciones:



Hallamos el nuevo denominador : 3 x 2 = 6.



Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la segundo fracción : -5 x 2 = -10 y colocamos el signo de la operación.



Multiplicamos el numerador de la segunda fracción con el denominador de la primera fracción : 3 x 3 = 9.


Sumamos -10+9=-1 y el resultado será.



En este caso tal como se puede observar, se debe tener mucho cuidado con el signo, sobretodo al tratar de obtener el numerador de la nueva fracción.


Ejemplo 3.

Hallar la diferencia de las siguientes fracciones.


Escribimos la operación a realizar, reescribiendo las fracciones.



Ahora hallamos el nuevo denominador que es : 8 x 2 = 16.



Luego multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción. -1 x 2 = -2, y colocamos el signo de la operación.



Después multiplicamos el numerador de la segunda fracción con el denominador de la primera fracción. -3 x 8 = -24.



En este caso restamos los resultados obtenidos porque nos pide hallar la diferencia. -2--24=22. La fracción obtenida será :



Pero como esta fracción se puede simplificar, entonces la nueva fracción será:


Ejemplo 4.

Jorge ha gastado 1/3 de su propina en caramelos, y 1/9 en comprar un libro. ¿Que fracción de su propina se ha gastado Jorge?


Para saber lo que gasto Jorge, lo único que se tiene que hacer es sumar las fracciones de lo que gasto en caramelos y en comprar un Libro.


Ejemplo 5.

Andrea para cocinar arroz con pollo uso 3/4 de arroz. ¿Qué fracción de arroz le queda?


En este caso necesitamos representar todo el arroz que tenia Andrea como un todo, es decir una unidad al que le debemos restar los 3/4 de arroz que uso en el arroz con pollo. Es decir debemos restar 1 – 3/4. Por otro lado, se debe saber que el denominador de cualquier número entero es siempre 1.


‒ 1. Axiomas de la adición y sustracción de números racionales.

En los siguientes axiomas las letras a,b y c representan números racionales.


‒ Axiomas
Axiomas Simbólicamente
1 Axioma 01: Conmutativa. El orden de los números racionales en la adición no altera su resultado.

Ejemplo 1:



Ejemplo 2:



a+b+c=c+a+b
2 Axioma 02: Asociativa. La adición de varios números racionales no varía sustituyendo varios números enteros por su adición.

Ejemplo 1:

, se sustituyen los números, y , por su adición,

a+b+c=(c+a)+b
3 Axioma 03: Disociativa. La adición de varios números racionales no se altera al reemplazar uno o más números de forma que la adición de los nuevos números racionales sea igual a la primera.

Ejemplo 1:

Si, , entonces

Ejemplo 2:

Si, , entonces

Si a=b+c, ⇒ m+a+n=m+(b+c)+n
4 Axioma 04: Elemento neutro. Existe solo un numero racional el cero, que al sumar con otro número racional no altera el resultado de la suma.

Ejemplo 1:



Ejemplo 2:



Ejemplo 3:



Ejemplo 4:



0+a=a
5 Axioma 05: Clausura. Cuando se adicionan números racionales el resultado es siempre otro número racional.

Ejemplo 1:



Ejemplo 2:



a+b=c
6 Axioma 06: Uniforme. La adición de números racionales iguales son también iguales.

Ejemplo 1:

Si, y , entonces

Ejemplo 2:

Si, y , entonces

Si a=b y c=d, ⇒ a+c=b+d
7 Axioma 07: Uniforme. Si a ambos miembros de una igualdad se le suma o sustrae el mismo numero, la igualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

Si, , entonces

Ejemplo 2:

Si, , entonces

Si a=b, ⇒ a+c=b+c
8 Axioma 08: Monotonía. Cuando se suman o sustraen miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

Ejemplo 1:

Si, y , entonces

Ejemplo 2:

Si, y , entonces

Si a<b y c<d, ⇒ a+c<b+d

Si a>b y c>d, ⇒ a+c>b+d

9 Axioma 09: Monotonía. Cuando se suma o sustrae un número a cada miembro de una desigualdad, la desigualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

Si, , entonces

Ejemplo 2:

Si, , entonces

Si a>b ⇒ a+c>b+c

Si a<b ⇒ a+c<b+c






ÍNDICE


 
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